1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十二)定积分在几何中的应用一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014广州高二检测)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.f(x)dxB.f(x)dxC.f(x)dx+f(x)dxD.f(x)dx-f(x)dx【解析】选D.因为在区间a，b上f(x)0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2.3.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=ab，则直
2、线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()A.B.C.D.【解题指南】求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.【解析】选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，得f(x)=ab=2sinxcosx=sin2x，当x时，sin2x0；当x时，sin2x0.由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为sin2xdx-sin2xdx=-cos2x|+cos2x|=1+=.【变式训练】已知a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，f(x)=ab，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y
3、=f(x)围成平面图形的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.由a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，得f(x)=ab=cos2x-sin2x=cos2x，当x时，cos2x0；当x时，cos2x0)围成图形的面积是，则c等于()A.B.C.1D.【解析】选B.由得交点(0，0)，则S=(x2-cx3)dx=-=，c=.【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为0，1.确定积分区间必须通过解曲线交点确定.二、填空题(每小题4分，共8分)5.直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积为_.【解析】由题意画草图：由图形知面积为S=cosx
4、dx=-cosxdx=-sinx=-(-1-1)=2.答案：26.(2014青岛高二检测)由曲线y2=2x，y=x-4所围图形的面积是_.【解析】如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，-2)，(8，4).因此所求图形的面积S=dy.取F(y)=y2+4y-，则F(y)=y+4-，从而S=F(4)-F(-2)=18.答案：18【一题多解】联立方程组，解得：(2，-2)，(8，4)，S=2dx+(-x+4)dx=18.答案：18三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2013沈阳高二检测)求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t(0，1)所围成的
5、图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分，建立面积的目标函数求最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t(0，1)，所以S=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S，S变化情况如下表：tS-0+S极小值所以当t=时，S最小，且Smin=.【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后
6、根据图象对各段分别求面积进而求和.(2)若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限.8.(2014潍坊高二检测)如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数.【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx=-=.由可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1=0，x2=1-k，所以=(x-x2-kx)dx=(1-k)3.又S=，所以(1-k)3=.于是k=1-=1-.所以k的值为1-.一
7、、选择题(每小题4分，共12分)1.由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.【解析】选A.由得交点为(0，0)，(1，1).所以S=(x2-x3)dx=.2.直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为f(x)dx；f(|x|)dx；|f(x)|dx；2|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当f(x)0时，平面图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx；当f(x)0)在曲线y=x2上，若阴影部分面积与OAP面积相等，则x0=_.【解析】S阴=x2dx=-
8、03=，SOAP=x0=x0，由题意知=x0，因为x00，所以x0=.答案：5.设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线x=围成的面积为b，若g(x)=2lnx-2bx2-kx在1，+)上单调递减，则实数k的取值范围是_.【解析】由题意b=2cos2xdx=sin2x=sin=，所以g(x)=2lnx-x2-kx，所以g(x)=-2x-k，因为g(x)=2lnx-2bx2-kx在1，+)上单调递减，所以g(x)=-2x-k-2x在1，+)上恒成立.因为-2x在1，+)上递减，所以-2x0，所以k0.由此知实数k的取值范围是(0，+).答案：(0，+)三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014济宁高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，bR)的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值.【解析】由图知方程f(x)=0有三个实根，其中有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，所以f(x)=x2(x+a)，有=0-(x3+ax2)dx=-=，所以a=3.又-a0a0)，将抛物线上一点代入方程，则有-h=-a，解得a=，所以抛物线方程为y=-x2.则有S=2dx=2(hx-x3)|=2=bh.关闭Word文档返回原板块
