1、2012考前冲刺数学第四部分专题八 立体几何6已知m、n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若B若C若D若【答案】D【解析】本题考查空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的判定,容易看出选项D正确.9一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( )A B C D【答案】A【解析】由三视图知,该几何体是棱锥,容易求得答案.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC. （1）证明：平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE/平面AB1C1？若存在
2、，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1），为直角三角形且从而BCAC。又AA1平面ABC，BCCC1 2分从而BC面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C 4分，侧面ACC1A1为正方形，又B1C1AC1=C1，面AB1C1. 6分（2）存在点E，且E为AB的中点 8分下面给出证明：取BB1的中点F，连接DF，则DF/B1C1。AB的中点为E，连接EF，则EF/AB1。B1C1与AB1是相交直线，面DEF/面AB1C1。 10分而面DEF，DE/面AB1C1 12分5（本小题共12分）在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余
3、弦值. 【解析】()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形, . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1证明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分过作交于，则平面.平面， . 6分，四边形平行四边形，平面，平面，平面，又,两两垂直. 5分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0， 0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 则， 11分二面角的余弦值为 12分2如图，在矩形中，为的中点，现将沿直线翻折成，使平面平面， 为线段的中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正切值. 【解析
4、】（I）证明：取的中点，连接, 则,在中， 所以 12分又，所以，故直线与平面所成角的正切值为 14分4设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A若，则 B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】当两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另外一条也垂直这个平面，故选项B中的结论正确.5已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A8 B C D【解析】=3.4（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求二面角的平面角的余弦值.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关
5、系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. ，. (11分)所求二面角的余弦值为. (12分) (方法二)证明：如图三以的中点为原点建系，设.设是平面的一个法向量，则.又，.令，. (3分) ，.又平面，平面. (5分)故矩形的面积 (10分)故所求五面体体积 (12分)6已知等差数列的公差大于0,且 是方程的两根,数列的前n项的和为，且 （1）求数列，的通项公式；（2）若求数列的前项和设数列的前项和为， （1） (2) 10分：化简得： 12分5已知直线，有下面四个命题： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的命题（ ）A（1）（2）B（2）（4）C（1）（3）D（3）（4）【答案】
6、C【解析】对于(1),由,又因为,所以,故(1)正确;同理可得(3)正确,(2)与(4)不正确,故选C.6（本题满分14分）如图，在矩形中，为的中点，现将沿直线翻折成，使平面平面， 为线段的中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正切值. 【解析】（I）证明：取的中点，连接, 则,且=,又,且=，从而有EB，所以四边形为平行四边形，故有， 4分所以，故直线与平面所成角的正切值为 14分4设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A若，则 B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】当两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另外一条也垂直这个平面，故选项B中的结论正确.5已知一个
7、棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A8 B C D【答案】C几何体是正方体截去一个三棱台， .6已知m、n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若B若C若D若【答案】D【解析】本题考查空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的判定,容易看出选项D正确.2如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，（）求证：BE/平面ADF；（）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？2解（）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM因为CE/DF，所以四边形CEMD是平行四边形可得E
8、M = CD且EM /CD，于是四边形示平面，则下列命题正确的是（ ） A.若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D.若，则【答案】D4(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理)如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）(A). 4 (B). 8 (C). 16 (D). 20【答案】C【解析】由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4。由俯视图我们易判断四棱锥的长为4代入棱锥的体积公式，我们易得V=624=16.7(山东省潍坊市2012年3月高三一轮模拟理科)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把A
9、CD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于( ) A4 B8 C16 D24【答案】C11(河北省石家庄市2012届高三教学质量检测一理科)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的半径为 A3 B6 C36 D9【答案】A【解析】以为棱构造长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则12.（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理科）已知某几何体的三视11正（主）视图11侧（左）视图俯视图图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C 【解析】由三视
10、图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得16(2012届江苏省五校联考)已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列4个命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，其中真命题的序号是 （填上你认为正确的所有命题的序号）【答案】【解析】本题考查空间线线与线面的位置关系,不难.1. (山东省威海市2012年3月高三第一次模拟文科）设为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A.若则B.若则C.若则D. 若则【答案】C【解析】本题考查空间线线及线面的位置关系,易知只有选项C正确.2. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)已知、为三条不
11、重合的直线，下面有三个结论：若则；若则；若则. 其中正确的个数为( )A个B个C 个D 个 定定理可知，反之未必成立，答案选A.4.(2012年东北三省四市教研协作体高三第二次调研测试文科)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.B. 1C.D.【答案】A【解析】由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为，高为1，体积为.故选A.6. (山东省济南市2012年3月高三高考模拟)若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是 ( )A. 27+12B. C. 27+3D. 54+3 【答案】C【解析】该几何体是一个下面为正六棱柱，上面是一个圆柱的组合体，
12、正六棱柱的体积为，圆柱的体积为，所以总体积为，选C.7(山东省济南市2012年2月高三定时练习文科)一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；直角三角形；圆；椭圆其中正确的是( ) A B C D【答案】C所以，左视图是D.13（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）如图所示是一个几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的表面积 cm2. 【答案】【解析】由三视图可知,几何体为一个正四棱锥,其底面正方形边长为4,几何体的斜高为，所以表面积为.14(2012年东北三校第一次模拟)如右图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为_。【答案】【解析】由三视图可知,几何体
13、为一个正方体与一个三棱锥对接而成,所以其侧视图中直角三角形的两直角边分别为1和,故面积为.15. (山东省临沂市2012年3月高三教学质量检测)一个三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图分别是矩形和正三角形，如图所示，则这个三棱柱的体积为 .【答案】【解析】该三棱柱水平放置，底面积为高，所以16.(2012年东北三省四市教研协作体高三第二次调研测试文科)如图所示，正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_.【答案】【解析】为正方体外接球的球心，也是正方体的中心，到平面的距离是体对角线的，即为，又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为，由勾股定理可
14、知，截面圆的半径为，圆锥底面面积为；圆锥的母线即为球的半径，圆锥的侧面积为；因此圆锥的表面积为.17（东北师大附中、辽宁省实验中学、哈师大附中2012年高三第二次模拟文科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_.【答案】【解析】由三视图可知,几何体为球的一部分,所以表面积为.19如图,在三棱柱中,侧面底面ABC,且为AC中点.(I)证明:平面ABC;(II)求直线与平面所成角的正弦值;(III)在上是否存在一点E,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.()如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知,又 所以得: 即,得 所以得 令
15、平面,得 , 即得 即存在这样的点E,E为的中点 19如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01)(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由19. 20已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且是的中点.(1)判断在上是否存在一点,使面面,并说明理由;(2)求面与面所成的二面角的大小;(3)求点到面的距离.在等腰三角形中, ,又 故所求的二面角的大小为. (3) 故点到面的距离为. 20如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形，20. 解法一:(1)在
16、直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1, E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB/CD, 所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1/A1D, 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1/A1D, 所以CF1/EE1,又因为平面FCC,平面FCC, 所以直线EE/平面FCC. (2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,
17、所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点, 所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M, 连接DM,则DMAB,所以DMCD, 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, ,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0), C1(0,2,2),E(,0),E1(,-1,1),所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. (2),设平面BFC1的法向量为,则所以