1、北重三中20182019学年度第二学期高二年级期中考试文科数学试题一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8【答案】8【解析】由椭圆的长轴在y轴上，则a2=m2，b2=8m，c2=a2b2=2m10由焦距为4，即2c=4，即有c=2即有2m10=4，解得m=7故答案为：7.2.函数在上的单调情况是（ ）A. 单调递增；B. 单调递减；C. 在上单调递增，在上单调递减；D. 在上单调递减，在上单调递增；【答案】A【解析】【分析】通过求导来判断的单调性。【详解】因为，所以在单调递增，故选A.【
2、点睛】此题考查利用导数判断函数单调性，此题为基础题.3.已知,下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐个选项进行判断即可.【详解】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.故选A.【点睛】此题考查不等式的基本性质，是基础题.4.已知抛物线上一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是（ ）A. 0B. C. 1D. 2【答案】C【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yp+1=2，求得yp解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=1，根据抛
3、物线定义，yp+1=2，解得yp=1故选：C考点：抛物线的简单性质5.在方程表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）A. （2，-7）B. C. （1,0）D. 【答案】B【解析】【分析】将参数方程化成代数方程，然后将代入,最后注意.【详解】因为,所以有.发现只有A选项，B选项符合关系式。但A选项无解.故选B.【点睛】此题考查参数方程，难度不大.6.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 为函数的单调递增区间；B. 为函数的单调递减区间；C. 函数在处取极大值；D. 函数在处取极小值；【答案】C【解析】【分析】根据导函数图象中函数值的正负确定单调性增减，根据导函数图象中零点且其附近
4、函数值符号发生变化确定极值，由正变负为极大值，由负变正为极小值.【详解】由函数yf(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5，)，所以f(x)在x1，5取得极小值，在x3取得极大值，故选项C错误.【点睛】导函数图象特点：导函数图象中函数值的正负确定单调性增减，根据导函数图象中零点且其附近函数值符号发生变化确定极值，由正变负为极大值，由负变正为极小值.7.过双曲线的右焦点与轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，得代入，得交点，则.整理，得，故选D
5、.考点：1、双曲线渐近线；2、双曲线离心率.8.极坐标方程（p-1）（）=0（p0）表示的图形是A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线【答案】C【解析】【此处有视频，请去附件查看】9.若函数的极大值为1，则函数的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且，故选A.考点：导数与函数极值.10.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令则当或时，单调递增，当
6、时，单调递减当时，取得极大值，且；当时，取得极小值，且函数有三个不同的零点，直线与函数的图象有三个交点，即实数的取值范围为选C点睛：研究方程根（或函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出大致的函数图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现11.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐
7、标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.【此处有视频，请去附件查看】12.定义域为R的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性进行判断，但是的处理很关键，最好乘以，使不等式左边变成的导数.【详解】对不等式两边同时乘以得到.所以在定义域内单调递减.得到,即，故选A.【点睛】此题是导致单调
8、性的应用的常见题，最好可以了解一些积分因子方面的资料，当然多做做类似的训练练习一下也可以很好的掌握.二填空题。13.已知函数，则_；【答案】【解析】【分析】直接求导即可【详解】因为，进行求导得.将代入得.故.【点睛】此题是关于求导运算的基础题14.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数 .【答案】3【解析】直线的普通方程为yxa.椭圆的标准方程为1，右顶点为(3，0)，所以点(3，0)在直线yxa上，代入解得a3.【此处有视频，请去附件查看】15.若曲线在点处的切线方程是，则_；【答案】5【解析】【分析】通过给定的切线方程和原函数求导来列出关于函数值和导数值的方程，最后求解.【详解】因为在处，所
9、以在处的斜率,而因为切线方程是,所以，解得.【点睛】此题属于典型的函数切线方程的题目，属于基础题.16.设点P在椭圆上，点Q在直线上，若|PQ|的最小值为，则m=_【答案】3【解析】分析：求出与直线平行且距离为的直线方程，利用该直线与椭圆相切，令，从而求出的值详解：根据题意，与直线平行且距离为的直线方程为或(舍去)，联立得，令，解得或.故答案为3.点睛：本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了方程与转化思想，是基础题目解答本题的关键是将原问题转化为求出与直线平行且距离为的直线方程. 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（1）求不等式的解集；（2）若正实数满足，求证
10、：。【答案】（1）;（2）见解析【解析】试题分析：解含绝对值不等式问题，使用零点分区间讨论法；第二步证明不等式可考虑综合法、分析法或反证法，本题采用分析法证明，运用均值不等式等转不等结合证明，使用分析法证明时，要注意语言叙述.试题解析：（1）当时，解得，；当时，解得，；当时，解得，舍去综上，故原不等式的解集为（2）证明：要证，只需证，即证，即证，而，所以成立，所以原不等式成立【点睛】解含绝对值不等式问题，使用零点分区间讨论法；证明不等式常采用综合法、分析法及反证法，证明时常借助几个重要不等式，如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等，另外经常边分析、边综合研究证明.18.已知函数（1）求的单调区
11、间；（2）求函数在上的最大值和最小值；【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减.(2) 最大值为0，最小值为.【解析】【分析】通过求导函数判断函数单调性，进而判断函数在的最值.【详解】（1）的定义域为.对求导得，因函数定义域有，故，由.在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上的最大值为.又，且，在上的最小值为，在上的最大值为0，最小值为.【点睛】此题是函数单调性和函数最值的常见题，通常利用导数来处理。19.直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐
12、标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）；（2）。【解析】分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出详解：（1）由，化为直角坐标方程为，即（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得因为，可设，又因为（2，1）为直线所过定点，,所以点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题20.已知抛物线的焦点为直线与轴的交点，为坐标原点。（1）求抛物线的方程；（2）若过点A(2,0)的直线与抛物线相交于B、C两点，求证：【答案
13、】(1) (2)见证明【解析】【分析】先计算出抛物线的方程.再为了方便计算，再设：和抛物线方程联立，进而用韦达定理来证明.【详解】（1）与轴的交点是，故.所以抛物线的方程是.（2）设过点的直线方程为：，当不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故舍去。联立，消去得，恒成立设，则，.有，则，所以，所以.【点睛】此题是圆锥曲线和向量的综合题，用常规方法联立直线和曲线方程，用韦达定理证明结论，属于一般难度题.21.已知函数。（1）当时，求函数的极值点。（2）若对任意的，求实数的取值范围。【答案】(1) 是函数的极大值点，是函数的极小值点.(2) 【解析】【分析】第一问利用导函数判断函数单调性，再利用函数
14、单调性求函数的极值点。第二问是恒成立问题求参数取值范围，先移项，因为，所以化简成这样一个恒成立问题：，求参数的取值范围。从而利用参变量分离的方法去求的取值范围.【详解】（1）因为，所以，求导得令得或，故在单调递增，在单调递减，在单调递增。所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.（2）由，得.由题意，故，即对恒成立.设，则.设，则.，在上单调递增，即，上单调递减，在上单调递增，的取值范围是.【点睛】第一问导函数求函数的极值点，属于常规基础题。第二问也是常见题型，恒成立问题求参数取值范围。可以通过参变量分离的方法去求解，属于导数和不等式综合题.22.已知椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点构
15、成一个高为，面积为的等腰梯形。（1）求椭圆C的标准方程;（2）过点F1的直线和椭圆交于A,B两点，求面积的最大值。【答案】(1) (2) 的最大值为3.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，根据，由韦达定理和弦长公式求解即可。解析：（）由条件，得，且，.又，解得，.椭圆的方程.（）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，联立方程，消去得，.直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交.，. .令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，当，设时，的最大值为3.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用