1、第40节 两直线的位置关系考纲呈现1能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，根据两条直线的斜率能判断两条直线的平行或垂直，能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题 2主要考查两直线位置关系的判断、点到直线的距离、两平行线间的距离及两点间的距离等内容.诊断型微题组 课前预习诊断双基1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 两条直线平行：()对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有l1l2 .()当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.k1k2两条直线垂直：()如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2.(
2、)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2.(2)两条直线的交点 直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解 k1k212几种距离(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d.(3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离 d.x2x12y2y12|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B2【知识拓展】1直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直
3、线系方程是 AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR)2两直线平行或重合的充要条件(1)直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行的充要条件是.(2)直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 重合的充要条件是.3两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是.A1B2A2B10，C1B2C2B1A1B2A2B10，C1B2C2B10A1A2B1B204过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方
4、程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.5点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等 1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑 2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l
5、2 垂直，那么它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.()(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于1k，且线段 AB 的中点在直线 l 上()2过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10【答案】A【解析】设
6、所求直线方程为 x2yc0(c2)，将(1,0)代入得c1，所求直线方程为 x2y10.故选 A.3已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()A.2B2 2C.21 D.21【答案】C【解析】依题意，得|a23|11 1，解得 a1 2或 a1 2.a0，a1 2.故选 C.4直线 2x2y10，xy20 之间的距离是_【答案】3 24 【解析】先将 2x2y10 化为 xy120，则两平行线间的距离为 d2122 3 24.5(教材习题改编)若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直，则 a_.【答案】0 或 1【解析】由两直线垂
7、直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得 a0 或 a1.形成型微题组 归纳演绎形成方法 两条直线的位置关系(2018 山东青岛模拟)已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且 l1 过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解】设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2.(1)由已知可得 l2 的斜率存在，且 k21a.若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在即 b0.又l1 过点(3，1)，3a40，即 a43(矛盾)，此种情况不存在，k20，即
8、 k1，k2 都存在且不为 0.k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab(1a)1.(*)又l1 过点(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)联立，解得 a2，b2.(2)l2 的斜率存在，l1l2，直线 l1 的斜率存在，且 k1k2，即ab 1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2，l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb，联立，解得a2，b2 或a23，b2.a2，b2 或 a23，b2.微技探究 1.当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 2在判断两
9、直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 (2018 辽宁鞍山一中月考)已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1)试判断 l1 与 l2 是否平行；(2)当 l1l2 时，求 a 的值【解】(1)当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，l1l2a2 11a，3a1，解得 a1，综上可知，当 a1时，l1l2.(2)当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 与 l2
10、不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不垂直于 l2，故 a0 不成立；当 a1 且0 时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，因为 l1l2，所以有a2 11a1，得 a23.故 a 的值为23.两直线的交点与距离问题 1(2018 湖南长沙模拟)求经过两条直线 l1：xy40 和 l2：xy20 的交点，且与直线 2xy10 垂直的直线方程为_【答案】x2y70【解析】由xy40，xy20得x1，y3，l1 与 l2 的交点坐标为(1,3)设与直线 2xy10 垂直的直线方程为 x2yc0，则 123c0，c7.所求直线方程为 x2y70.2(
11、2018 山东泰安期末)直线 l 过点 P(1,2)且点 A(2,3)和点 B(4,5)到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为_【答案】x3y50 或 x1【解析】当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由题意，知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13.直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意 故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.微技探究 1.求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程
12、2利用距离公式应注意：点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等的 1.(2018 四川内江六中月考)已知直线 ykx2k1 与直线 y12x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_【答案】16，12 【解析】由方程组 ykx2k1，y12x2解得x24k2k1，y6k12k1.(若 2k10，即 k12，则两直线平行)交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.2.(2018 辽宁鞍山一模)点 P 为 x 轴上的
13、一点，点 P 到直线 3x4y60 的距离为 6，则点 P 的坐标为()A(8,0)B(12,0)C(8,0)或(12,0)D(0,0)【答案】C【解析】设 P(a,0)，由题意可知|3a406|32426，即|3a6|30，解得 a12 或 a8，所以点 P 的坐标为(12,0)或(8,0)故选C.对称问题命题角度 1 点关于点的对称问题 (2018 黑龙江哈尔滨调研)过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_【答案】x4y40【解析】设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关
14、于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程，得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.命题角度 2 点关于直线的对称问题 (2018 江西期中联考)如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是()A3 3B6 C2 10D2 5【答案】C【解析】直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)则光线经过的路
15、程为|CD|62222 10.命题角度 3 直线关于直线的对称问题 (2018 浙江温州十校联考)直线 2xy30 关于直线 xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30 Cx2y10Dx2y10【答案】A【解析】设所求直线上任意一点为 P(x，y)，P 关于 xy20的对称点为 P(x0，y0)，由xx02yy0220，xx0yy0得x0y2，y0 x2，由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即 x2y30.微技探究 解决对称问题的方法(1)中心对称 点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P(x，y)满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转
16、化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称 若点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点为 A(m，n)，则有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 1.(2018 浙江杭州一模)已知点 A(1,3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2,1)，则直线 ykxb 在 x 轴上的截距是_【答案】56【解析】由题意得线段 AB 的中点12，2 在直线 ykxb 上且kABk1.故有23k1，12kb2，解得 k32，b54，所以直线方程为 y32x54.令 y0，即32x540，解得 x56，故直线 ykxb 在 x 轴上的截距为5
17、6.2.(2018 四川成都模拟)平面直角坐标系中直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程是_【答案】3x4y50【解析】设 A(x，y)为所求直线上的任意一点，则点 A 关于 x 轴的对称点 A(x，y)在直线 3x4y50 上，即 3x4(y)50，故所求直线方程为 3x4y50.3.(2018 山东泰安模拟)已知直线 l：2x3y10，求直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程【解】在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设对称点 M(a，b)，则 2a223b0210，b0a2231，解得 a 613，
18、b3013，M613，3013.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由2x3y10，3x2y60得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)由两点式，得直线 m的方程为 9x46y1020.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2016 北京，5)圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为()A1B2 C.2D2 2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线 yx3 即 xy30 的距离为|103|1212 22 2.2(2016 四川，9)设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)lnx，0 x1图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2
19、 分别与 y轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是()A(0,1)B(0,2)C(0，)D(1，)【答案】A【解析】设 l1 是 yln x(0 x1)的切线，切点为 P2(x2，y2)，l1：yy11x1(xx1)，l2：yy21x2(xx2)，得 xPy1y221x11x2，易知 A(0，y11)，B(0，y21)，l1l2，1x11x21，x1x21，S PAB12|AB|xP|12|y1y22|y1y22|1x11x212y1y222x1x2x1x212ln x1ln x222x1x212lnx1x222x1x2124x1x22x1x2，又0 x11，x1x21，x1x22 x1x22，0SPAB1.故选 A.3(2016 上海，7)已知平行直线 l1：2xy10，l2：2xy10，则 l1 与 l2 的距离是_【答案】2 55 【解析】由两平行线间的距离公式，得 d|11|22122 55.