1、数学必修4(人教A版)三角函数的概念专题归纳三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域例题分析求下列函数的定义域：(1)ylg(2sin x1)；(2)y .分析：本题主要考查三角函数的定义域及数形结合的思想，列出满足条件的不等式(组)，结合单位圆中正弦线或余弦线、正切线求解，也可以作出函数的图象，由函数图象写出解集解析：(1)即2kx2k(kZ)函数ylg(2sin x1)的定义域是(kZ)(2)3tan x0，即
2、tan x.kxk，函数y的定义域为.点评：(1)注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题(2)求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域已知角的终边过点P(3cos ，4cos )，其中，求的三个三角函数值分析：利用三角函数的比值定义求解解析：，cos 0，r5cos，故sin ，cos ，tan .点评：利用三角函数定义解题时，注意距离r是一正数跟踪训练1若为第四象限的角，试判断sin(cos )cos(sin )的符号解析：为第四象限，0cos 1，1sin 0，sin(cos )0，cos(sin )0，sin(cos )cos(sin )0.同角基本关系式和诱导公
3、式的应用专题归纳在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取例题分析化简下列各式：(1)；(2)tan 36tan 54.分析：熟练诱导公式，关键是符号的正负解析：(1)原式cos2sin22sin21.(2)原式tan 36tan 541tan 36cot 36.点评：所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能的少已知tan 2，求sin23sin
4、 cos 1的值分析：巧用“1”的变换，1sin2cos2，将所求式化为“关于sin 、cos 的齐次分式”，然后化成关于tan 的函数再求值解析：tan 2,1sin2cos2，原式 sin23sin sin (sin2cos2).点评：解答该类问题要注意两类：(1)先化成“关于sin 、cos 的齐次分式”型的三角函数式；(2)由cos 0，分子、分母可同除以cosn(n为齐次式的幂指数)得到关于tan 的函数，代入tan 的值，即可求得结论跟踪训练2求下列各式的值：(1) ；(2).解析：(1)原式1.(2)原式tan .三角函数的图象和性质专题归纳理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象
5、和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数yAsin(x)的简图，理解A、的物理意义，对于三角函数的图象和性质，不仅考查图象及其变换，还需根据图象识别出函数性质，并能够灵活运用有关性质解决生活生产中的问题例题分析已知函数yf(x)lg cos 2x，(1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性；(3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性解析：充分考虑ycos 2x的性质，注意对数的真数要大于0的限制条件(1)要使函数f(x)lg cos 2x有意义，则cos 2x0，即2k2x2k，kZ.kxk，kZ.函数的定义域为xkxk，kZ.由于在定义域内0cos 2x1.lg cos 2x0，
6、函数的值域(，0(2)函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)lg coslg cos 2xf(x)，函数是偶函数(3)cos 2x的周期为，即cos2(x)cos 2x.f(x)lg cos2(x)lg cos 2xf(x)函数的周期为.(4)ylg u是增函数当x(kZ)时，ucos 2x是增函数当x(kZ)时，ucos 2x是减函数因此，函数ylg cos 2x在(kZ)上是增函数，在(kZ)上是减函数点评：本题可画出ycos 2x的图象，借助图象直观写出cos 2x0的条件下函数的性质已知f(x)2asin2ab，x，是否存在常数a，bQ时，使得f(x)的值域为？若存在，求出a，b
7、的值；若不存在，说明理由分析：本题主要考查正弦函数图象的单调性、值域和分类讨论的思想，先确定2x的范围，然后对a的正负值进行讨论，使最大值为1，最小值为3，解方程得到a，b是否是有理数即可解析：f(x)2asin2ab，x，2x，2x.1sin，且f(x)(1)当a0时，解得b无解(2)当a0时，f(x)b无最值，不符合要求(3)当a0时，解得存在常数a1，b1满足a，bQ，且使f(x)的值域为点评：(1)值域是在x条件下存在，并非xR.(2)题中没有给出a的范围，且a的值影响f(x)的单调性，从而影响值域，因此需要对a进行讨论，注意讨论要全面，a，bQ，不能遗漏a0的情况跟踪训练3(1)求函
8、数y12sin的最大值和最小值及相应的x值；(2)已知函数yacos3，x的最大值为4，求实数a的值解析：(1)当sin1，即x2k，kZ.当x2k，kZ时，y取得最大值123.当sin1，即x2k，kZ.当x2k，kZ时，y取得最小值121.(2)x，2x，1cos.当a0，cos时，y取得大值a3.a34，a2.当a0，cos1时，y取得最大值a3.a34，a1.综上可知，实数a的值为2或1.三角函数的综合应用例题分析函数yAsin(x)(其中A0，0)图象的一部分如右图所示(1)求此函数的一个解析式；(2)将函数ysin x的图象如何变化，可以得到(1)中求出的函数的图象解析：(1)由题
9、图可知，A2，624，T16，.将点(2,2)代入y2sin，得22sin，即sin1.即2k(kZ)，令k0，得.所求函数的解析式是y2sin.(2)将ysin x的图象向左平移个单位，得ysin的图象，再将ysin的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数ysin的图象，再将ysin的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得y2sin的图象点评：知图求式中函数yAsin(x)中的确定一般利用关键点法，三角函数的图象变换关键要搞清先伸缩后平移与先平移后伸缩的不同跟踪训练4要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大 (已知：电灯对课桌的亮度E cos ，I为电灯的光度，b、如图所示？解析：由题设E及b，得Esin2cos ，要使靠墙课桌得到最大亮度，即E值最大，是常数，且(sin2cos )2cos2(1cos2)22cos2(1cos2)(1cos2)，又为锐角，且2cos2(1cos2)(1cos2)2为定值当2cos21cos2，即cos 时，(sin2cos )2最大，亦即E最大，这时h(米)