1、9.6 双曲线 考纲要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用.3.理解数形结合的思想 1双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做_，两焦点间的距离叫做_ 距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当_时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_时，P点的轨迹是两条射线；(3)当_时，P点不存在 2a|F1F2|2双曲线的标准方程和几何
2、性质 3.巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()(5)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与x2b2y2a21(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则1e211e221(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()【答案】A 1(教材改编
3、)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5 B5C.2D2【解析】由题意得 b2a，又 a2b2c2，5a2c2.e2c2a25，e 5.【答案】A 2(2015安徽)下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是()Ax2y241 B.x24y21Cx2y221 D.x22y21【解析】由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线 x2y241的渐近线方程为 y2x，故选 A.3(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x27y231的焦距是_【解析】由x27y231，得 a27，b23，所以 c210，c10，所以 2c2 10.【
4、答案】2 104(2016北京朝阳区模拟)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为_【解析】双曲线 C 的标准方程为 x23my231(m0)，其渐近线方程为 y mm x，即 myx，不妨选取右焦点 F(3m3，0)到其中一条渐近线 x my0 的距离求解，得 d 3m3m1 3.【答案】35(教材改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_【解析】设双曲线的方程为x2a2y2a21(a0)，把点 A(3，1)代入，得 a28，故所求方程为x28y281.【答案】x28y281题型一 双曲线的定义及标准方程命题点 1 双曲线定义
5、的应用【例 1】(2016河北邯郸模拟)设动圆 C 与两圆 C1：(x 5)2y24，C2：(x 5)2y24 中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心 C 的轨迹方程为_【解析】设圆 C 的圆心 C 的坐标为(x，y)，半径为 r，由题设知 r2，于是有|CC1|r2，|CC2|r2或|CC1|r2，|CC2|r2，|CC1|CC2|42 5|C1C2|，即圆心 C 的轨迹 L 是以C1，C2 为焦点，4 为实轴长的双曲线，L 的方程为 x2422y2（5）24221，即x24y21.【答案】x24y21命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程【例 2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴
6、长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)；(3)经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)【解析】(1)设双曲线的标准方程为 x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361.(2)双曲线经过点 M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为 y2144x2251.(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)9m28n1，72m49n1，解得m 175
7、，n 125.双曲线的标准方程为y225x2751.【方法规律】求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值跟踪训练 1(1)(2015课标全国)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_(2)(2016河南郑州二模)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2(y2)21 相切的双曲线的标准方程为()A.
8、x2113y2111 B.x22y21C.y2113x2111 D.y211x21131【解析】(1)由双曲线渐近线方程为 y12x，可设该双曲线的标准方程为x24y2(0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424(3)2，即 1，故所求双曲线的标准方程为x24y21.(2)设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，其渐近线方程为y mnx，渐近线与圆 x2(y2)21 相切，21mn1，m3n，又双曲线过点(2，1)，4mn1，联立，可解得m 311，n 111.双曲线的标准方程为x2113y2111，故选 A.【答案】(1)x24y21(2)A题型二 双曲线的几何性质【例 3】(1)(2
9、016浙江)已知椭圆 C1：x2m2y21(m1)与双曲线 C2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则()Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21(2)(2015山东)平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)交于点 O，A，B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为_【解析】(1)由于 m21c2，n21c2，则 m2n22，故mn，又(e1e2)2m21m2 n21n2 n21n22n21n2 n42n21n
10、42n2 11n42n21，所以 e1e21.故选 A.(2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 ybax，直线 OB 的方程为 ybax.由ybax，x22py，得 x22pbax，x2pba，y2pb2a2，A2pba，2pb2a2.设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F0，p2，kAF2pb2a2 p22pba.OAB 的垂心为 F，AFOB，kAFkOB1，2pb2a2 p22pbaba 1，b2a254.设 C1 的离心率为 e，则 e2c2a2a2b2a215494.e32.【答案】(1)A(2)32【方法规律】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2y2b
11、21(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kba满足关系式 e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围跟踪训练 2(1)(2015重庆)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 F，左，右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A12B 22C1 D 2(2)(2015湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长
12、a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2 B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2；当ab时，e1e2【解析】(1)如图，双曲线x2a2y2b21 的右焦点 F(c，0)，左，右顶点分别为 A1(a，0)，A2(a，0)，易求 Bc，b2a，Cc，b2a，则 kA2Cb2aac，kA1Bb2aac，又 A1B 与 A2C 垂直，则有 kA1BkA2C1，即b2aacb2aac1，【答案】(1)C(2)B b4a2c2a21，a2b2，即 ab，渐近线斜率 kba1.(2)e11b2a2，e21（bm）2（am）2.不妨令
13、 e1e2，化简得babmam(m0)，得 bmam，得 ba.所以当 ba 时，有babmam，即 e1e2；当 ba 时，有babmam，即 e1e2，故选B.题型三 直线与双曲线的综合问题【例 4】(1)(2016荆门质检)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F1 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A，B，若F1A AB，则双曲线的渐近线方程为()A3xy0 Bx3y0C2x3y0 D3x2y0【答案】A【解析】由yxc，ybax得 x acab，由yxc，ybax，解得 x acba，由已知得 2acabc acba，所以 b3a.所以双曲线的
14、渐近线方程为 3xy0.(2)若双曲线 E：x2a2y21(a0)的离心率等于 2，直线 ykx1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点求 k 的取值范围；若|AB|6 3，点C是双曲线上一点，且OC m(OA OB)，求 k，m 的值【解析】由ca 2，a2c21得a21，c22，故双曲线 E 的方程为 x2y21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx1，x2y21，得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于 A，B 两点，故k1，（2k）24（1k2）（2）0，即k1，2k 2，所以 1k 2.故 k 的取值范围是k|1k 2 由(*)得 x1x2 2kk21，x
15、1x22k21，|AB|1k2（x1x2）24x1x2 2（1k2）（2k2）（k21）26 3，整理得 28k455k2250，k257或 k254，又 1k 2，k 52，所以 x1x24 5，y1y2k(x1x2)28.设 C(x3，y3)，由OC m(OA OB)，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4 5m，8m)点 C 是双曲线上一点 80m264m21，得 m14.故 k 52，m14.【方法规律】(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；
16、当二次项系数不等于0时，用判别式来判定(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验 跟踪训练3(2016广东汕头澄海凤翔中学综合测试)已知双曲线C的两个焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1，2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|DG|的最小值【解析】(1)依题意，得双曲线 C 的实半轴长为 a1，半焦距为 c2，所以其虚半轴长 b c2a2 3.又其焦点在 x 轴上，所
17、以双曲线 C 的标准方程为 x2y231.(2)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则3x21y213，3x22y223.两式相减，得 3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为 M(2，1)为 AB 的中点，所以x1x24，y1y22，所以 12(x1x2)2(y1y2)0，即 kABy1y2x1x26，故 AB 所在直线 l 的方程为 y16(x2)，即 6xy110.(3)由已知，得|DF1|DF2|2，即|DF1|DF2|2，所以|DF1|DG|DF2|DG|2|GF2|2，当且仅当 G，D，F2 三点共线时取等号 因为|GF2|（12）222 5，
18、所以|DF2|DG|2|GF2|2 52，故|DF1|DG|的最小值为 52.易错警示系列 14忽视“判别式”致误【典例】(12 分)已知双曲线 x2y221，过点 P(1，1)能否作一条直线 l，与双曲线交于 A、B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？【易错分析】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误【规范解答】设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段 AB 的中点为(x0，y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合
19、题意(2 分)设经过点 P 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 ykx1k.(3 分)由ykx1k，x2y221，得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)(6 分)x0 x1x22k（1k）2k2.由题意，得k（1k）2k21，解得 k2.(8 分)当 k2 时，方程成为 2x24x30.162480)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为 Ax2By21(AB0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况 5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
