1、学案4 均值不等式考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4返回目录考 纲 解 读 基本不等式及应用1.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.2.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.3.能够利用基本不等式求函数的最值,能熟练运用比较法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等式.考 向 预 测 从近几年的高考试题看,均值不等式(a,bR+)的应用一直是高考命题的热点,在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很
2、多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.因此2012年的高考复习,要注意复习方向.2baab返回目录返回目录1.算术平均值如果a,bR+，那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值如果a,bR+，那么叫做这两个正数的几何平均值.2b+aab3.均值定理：如果a,bR+，那么（当且仅当a=b时，取“=”）；重要不等式:如果a,bR，则a2+b2（当且仅当a=b时，取“=”）.均值定理可以叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.4.变式形式(1)ab ;(2);返回目录2b+a2b+a222)2b+a(2ab abab (3)(ab0);(4
3、);(5)上述不等式中等号成立的条件是a=b且a0，b0.5.两条规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有值.(2)两个正数的和为常数时，它们的积有值.返回目录ba+ab2)2b+a(.)b+(a22222b+a22b+a最大最小2010年高考安徽卷若a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).ab1;2;a2+b22;a3+b33;2.ba b1a1 考点1 基本不等式返回目录【分析】由基本不等式和其变形式判断,化不等式为基本不等式的形式.【解析】ab =1，成立.欲证,即证a+b+2 2,即2 0,显然不成立.欲证a2+b2=(a+b)
4、2-2ab2,即证4-2ab2,即ab1,由知成立.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3a2-ab+b2 (a+b)2-3ab 4-3abab ,由知,ab 不恒成立.22ba2baabab2323 236565返回目录欲证2,即证2,即ab1,由知成立.故填.b1a1 abba 熟练掌握基本不等式及其几种变形式.应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，即a2+b22ab成立的条件是a，bR,而成立的条件是a0且b0.ab2ba返回目录若a，b是正数，则这四个数的大小顺序是.(a，b是正数，而,又a2+b22ab2(a2+b2)(a+b)2 ,，因此.)2ba,
5、ba2ab,ab,2ba22+2b+a2b+aabb+a2ab22abab22abb+a2ab2b+aab 2b+a222)2b+a(2b+a2b+a222b+a2b+aabb+a2ab22返回目录2010年高考重庆卷已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3 B.4 C.D.【分析】在x+2y+2xy中2xy与x+2y有联系:x+2y2 ,故可由基本不等式建立求x+2y的最小值的不等式.考点2 利用基本不等式求最值211292xy返回目录【解析】x+2y+2xy=8,x+2y2 ,8x+2y+,令x+2y=t,则t+8,t2+4t-320,(t+2)236,又x0,
6、y0,t0,t4,即x+2y4.(“=”成立时x=2,y=1)x+2y的最小值为4.故应选B.xy222yx24t 2返回目录（1）利用均值不等式求最值需注意的问题：各数(或式)均为正;和或积为定值;等号能否成立,即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.（2）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.返回目录（3）当多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法
7、.返回目录2010年高考浙江卷若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.【解析】由x0,y0,2x+y+6=xy,得2x+y2+6(当且仅当2x=y时,取“=”），即()2-2-60,(-3)5(+)0.又0,3，即xy18.xy的最小值为18.xy2xyxy2xy2xy2xyxy2返回目录【证明】当且仅当a=b=c=时,取等号.考点3 利用均值不等式证明已知a，b，c(0,+),且a+b+c=1，求证：【分析】可进行“1的代换”，为使用基本不等式创造条件.9c1+b1+a19=2+2+2+3)cb+bc(+)ca+ac(+)ba+ab(+3=cc+b+a+bc+b+a+ac+b
8、+a=c1+b1+a131名师伴你行返回目录(1)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手,借助不等式性质和均值不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证问题,其特征是“执因导果”.(2)证明不等式时要注意灵活变形,多次利用均值不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用均值不等式的变形形式.返回目录(1)已知a0,b0,a+b=1,求证:4;(2)证明:a4+b4+c4+d44abcd.b1a1【证明】(1)a0,b0,a+b=1,(当且仅当a=b=时等号成立).4.原不等式成立.(2)a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2=2(a2b2+
9、c2d2)22abcd=4abcd.故原不等式得证,等号成立的条件是a2=b2,且c2=d2且ab=cd.4abba22baab2bbaabab1a121b1a1 返回目录2009年高考湖北卷围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.考点4 利用基
10、本不等式解应用题返回目录【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则y=45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360.由已知xa=360，得a=，y=225x+-360（x0）.(2)x0,225x+2=10 800.y=225x+-36010 440.当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.x360 x3602x36022360225x3602x3602返回目录在应用均值不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)建立相应的函数关系式,确定函数的定义域;
11、(3)在定义域内只需再利用均值不等式,求出函数的最值;(4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.返回目录已知26列火车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地,每两列火车间的距离为d千米,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20(千米/小时)时,d=1(千米).(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计火车的长度,则26列火车都到达B地最少需要多少小时?此时火车的速度为多少?返回目录【解析】(1)由题意可知d=kv2,其中k为比例系数,且v0,当v=20时,d=1,1=k202,即k=1400,d=v2(v0).(2)每两列火车间的距离为d千米,最后一列火车与第一列火车间的距离是25d,最
12、后一列火车到达B地的时间为t=,由(1)可知d=v2,代入上式整理得t=25=10,为80千米/小时.4001vd25v400 400116vv400 16vv4002返回目录当且仅当,即v=80(千米/小时)时等号成立,26列火车都到达B地最少需要10小时,此时火车的速度16vv400 返回目录1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用.2.创设应用基本不等式的条件（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值.（2）当多次使用基本不等式时，一定要
13、注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.返回目录3.最值的求法“和定积最大，积定和最小”即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论需注意以下三点：（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值.必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、二定、三相等.4.基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：(a,bR).(a0,b0).2b+a2b+aa22)(b22b+a2b+aa22b返回目录