1、2021年中考数学压轴题专项训练三角形1已知，ABC是等边三角形，过点C作CDAB，且CDAB，连接BD交AC于点O（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且NDNM，连接BN求证：NBNM（1）证明：ABC是等边三角形，ABCACBCAB60，CDAB，且CDAB，CDCABC，ACDACB60，BODO，COBD，AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，NBND，NDNM，NBNM2等腰RtABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AHCE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F（1）求证：
2、ADGCDE（2）若点H恰好为CE的中点，求证：CGFCFG证明：（1）在等腰RtABC中，点D为斜边AB上的中点，CDAB，CDAB，ADAB，ADCD，CDAB，ADGCDE90，AHCE，CGH+GCH90，AGD+GAD90，又AGDCGH，GADGCH，在ADG和CDE中ADGCDE90，ADCD，GADGCHADGCDE（ASA），（2）AHCE，点H为CE的中点，ACAE，CAHEAH，CAH+AFC90，EAH+AGD90，AFCAGD，AGDCGH，AFCCGH，即CGFCFG3如图，在ABC中，ADBC且BDDE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E（1）若BAE3
3、2，求C的度数；（2）若AC6cm，DC5cm，求ABC的周长解：（1）ADBC，BDDE，EF垂直平分ACABAEECCCAE，BAE32AED（18032）74；CAED37；（2）由（1）知：AEECAB，BDDE，AB+BDEC+DEDC，ABC的周长AB+BC+AC，AB+BD+DC+AC，2DC+AC25+616（cm）4如图，在ABC中，BAC和ABC的平分线相交于点O，过点O作EFAB交BC于F，交AC于E，过点O作ODBC于D（1）求证：AOB90+C；（2）求证：AE+BFEF；（3）若ODa，CE+CF2b，请用含a，b的代数式表示CEF的面积，SCEFab（直接写出结果
4、）证明：（1）OA，OB平分BAC和ABC，AOB180OABOBA（2）EFAB，OABAOE，ABOBOF又OABEAO，OBAOBF，AOEEAO，BOFOBF，AEOE，BFOF，EFOE+OFAE+BF；（3）点O在ACB的平分线上，点O到AC的距离等于OD，SCEF（CE+CF）OD2baab，故答案为：ab5如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E（1）求证：BDADDEAC（2）若AB13，BC10，求线段DE的长（3）在（2）的条件下，求cosBDE的值证明：（1）ABAC，BDCD，ADBC，BC，DEAB，DEBADC，BDECAD，BAADDEC
5、A；（2）ABAC，BDCD，ADBC，在RtADB中，AD12，ADBDABDE，DE（3）ADBAED90，BDEBAD，cosBDEcosBAD6如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E（1）求证：BDCD（2）若弧DE50，求C的度数（3）过点D作DFAB于点F，若BC8，AF3BF，求弧BD的长（1）证明：如图，连接ADAB是圆O的直径，ADBD又ABAC，BDCD（2）解：弧DE50，EOD50DAEDOE25由（1）知，ADBD，则ADB90，ABD902565ABAC，CABD65（3）BC8，BDCD，BD4设半径ODx则AB2x由AF3B
6、F可得AFABx，BFABx，ADBD，DFAB，BD2BFAB，即42x2x解得x4OBODBD4，OBD是等边三角形，BOD60弧BD的长是：7阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AEEF求证：ACBF经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图，添加辅助线后依据SAS可证得ADCGDB，再利用AEEF可以进一步证得GFAEAFEBFG，从而证明结论思路二如图，添加辅助线后并利用AEEF可证得GBFGAFEFAE，再依据AAS可以进一步证得ADCGDB，从而证明结论完成下面问题：（1）思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使
7、DGAD，连接BG；思路二的辅助线的作法是：作BGBF交AD的延长线于点G（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）解：（1）延长AD至点G，使DGAD，连接BG，如图，理由如下：AD为ABC中线，BDCD，在ADC和GDB中，ADCGDB（SAS），ACBG，AEEF，CADEFA，BFGG，GCAD，GBFG，BGBF，ACBF故答案为：延长AD至点G，使DGAD，连接BG；作BGBF交AD的延长线于点G，如图理由如下：BGBF，GBFG，AEEF，EAFEFA，EFABFG，GEAF，在ADC和GDB中，ADCGDB（
8、AAS），ACBG，ACBF；故答案为：作BGBF交AD的延长线于点G；（2）作BGAC交AD的延长线于G，如图所示：则GCAD，AD为ABC中线，BDCD，在ADC和GDB中，ADCGDB（AAS），ACBG，AEEF，CADEFA，BFGG，GCAD，GBFG，BGBF，ACBF8如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DEOC交y轴于点E，已知AOm，BOn，且m、n满足n28n+16+|n2m|0（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，
9、点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标解：（1）n28n+16+|n2m|0，（n4）2+|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，m2，n4，点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DGDF，连接BG，设OEx，OC平分AOB，BOCAOC45，DEOC，EFOFEOBEGBOCAOC45，OEOFx，在ADF和BDG中，ADFBDG（SAS），BGAF2+x，GAFE45，GBEG45，BGBE4x，4x2+x，解得：x1，OE1；（3）如
10、图2，分别过点F、P作FMy轴于点M，PNy轴于点N，设点E为（0，m），点P的坐标为（x，2x+4），PNx，ENm+2x4，PEF90，PEN+FEM90，FMy轴，MFE+FEM90，PENMFE，在EFM和PEN中，EFMPEN（AAS），MENPx，FMENm+2x4，点F为（m+2x4，m+x），F点的横坐标与纵坐标相等，m+2x4m+x，解得：x4，点P为（4，4）9在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE，连结BE（1）若点D在线段AM上时（如图1），则ADBE（填“”、“”或“”），CAM30度；（2）设直线BE与直线
11、AM的交点为O当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；当动点D在直线AM上时，试判断AOB是否为定值？若是，请直接写出AOB的度数；若不是，请说明理由解：（1）ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACD+DCBDCB+BCEACDBCE在ADC和BEC中，ACDBCE（SAS），ADBE；ABC是等边三角形，BAC60线段AM为BC边上的中线CAMBAC，CAM30故答案为：，30；（2）ADBE，理由如下：ABC和CDE都是等边三角形ABBC，DCEC，ACBDCE60，ACDACBDCB，BCEDCEDCB，ACDBCE
12、，ACDBCE（SAS）ADBEAOB是定值，AOB60，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由知ACDBCE，则CBECAD30，又ABC60，CBE+ABC60+3090，ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线AM平分BAC，即，BOA903060当点D在线段AM的延长线上时，如图2，ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACB+DCBDCB+DCEACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）CBECAD30，同理可得：BAM30，BOA90306010数学课上，王老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索
13、结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且EDEC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论AEDB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在ABC中，ABBCAC1；点E在AB的延长线上，AE2；点D在CB的延长线上，EDEC，如图3，请直接写CD的长1或3解：（1）如图1，过点E作EFBC，交AC于点F，ABC为等边三角形，AFEACBABC60，AEF为等边三角形，EFCEBD120，EFAE，EDEC，EDB
14、ECB，ECBFEC，EDBFEC，在BDE和FEC中，BDEFEC（AAS），BDEF，AEBD，故答案为：；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，ABC为等边三角形，AFEACBABC60，AEF为等边三角形，EFCEBD120，EFAE，EDEC，EDBECB，ECBFEC，EDBFEC，在BDE和FEC中，BDEFEC（AAS），BDEF，AEBD故答案为：AEDB（3）解：分为四种情况：如图3，ABAC1，AE2，B是AE的中点，ABC是等边三角形，ABACBC1，ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），ACE90，AEC30，DECBBE
15、C30，DBEABC60，DEB180306090，即DEB是直角三角形BD2BE2（30所对的直角边等于斜边的一半），即CD1+23如图4，过A作ANBC于N，过E作EMCD于M，等边三角形ABC，ECED，BNCNBC，CMMDCD，ANEM，BANBEM，ABC边长是1，AE2，MN1，CMMNCN1，CD2CM1；如图5，ECDEBC（EBC120），而ECD不能大于120，否则EDC不符合三角形内角和定理，此时不存在ECED；如图6，EDCABC，ECBACB，又ABCACB60，ECDEDC，即此时EDEC，此时情况不存在，答：CD的长是3或1故答案为：1或311定义：如果一个三角
16、形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”（1）如图1，ABC中，ABAC，A36，求证：ABC是倍角三角形；（2）若ABC是倍角三角形，ABC，B30，AC，求ABC面积；（3）如图2，ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AEAB，若AB+ACBD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明（1）证明：ABAC，BC，A+B+C180，A36，BC72，A2C，即ABC是倍角三角形，（2）解：ABC，B30，当B2C，得C15，过C作CH直线AB，垂足为H，可得CAH45，AHCHAC4BH，ABBHAH4，S当A2B或A2C时，与ABC矛盾
17、，故不存在综上所述，ABC面积为（3）AD平分BAE，BADEAD，ABAE，ADAD，ABDAED（SAS），ADEADB，BDDE又AB+ACBD，AE+ACBD，即CEBDCEDECBDE2ADCADC是倍角三角形12如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ACCD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D在第一象限内，DCA90，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CMCN解：（1）A（4，0），OAOB4，B（0，4），故答案为：（0，4）（2）C（0，7），OC7，过点D作DEy轴，垂足
18、为E，DECAOC90，DCA90，ECD+BCAECD+EDC90BCAEDC，DECCOA（AAS），DEOC7，ECOA4，OEOC+EC11，D（7，11）；（3）证明：BEOEOB1147BEDE，DBE是等腰直角三角形，DBE45，OAOB，OBA45，DBA90，BAN+ANB90，DCA90，CDN+DNC90，DNCANB，CDNBAN，DCA90，ACMDCN90，DCNACM（ASA），CMCN13如图，在ABC中，BDAC，垂足为C，且AC，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EFDE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G（1）请同学们根据以上提示，
19、在上图基础上补全示意图（2）当ABD与FDE全等，且ADFE，A30，AFD40，求C的度数解：（1）补全示意图如图所示，（2）DEEF，BDAC，DEFADB90ABD与DEF全等，ABDF，又ADFE，ABDFDE，BDDE在RtABD中，ABD90A60FDE60ABDBDF+AFD，AFD40，BDF20BDEBDF+FDE20+6080BDDE，DBEBED（180BDE）50在RtBDC中，C90DBE90504014如图CP是等边ABC的外角ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作ADF60，另一边交射线CP于F（1）求证ADFD；（2）若AB2，BDx，DFy
20、，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当ADF的面积为时，求BD的长证明：（1）如图1，连接AF，ACB60，ACE120，CP平分ACE，ACPPCE60，ADFACP60，A、D、C、F四点共圆，AFDACB60，ADFAFD60，DAF60，ADF是等边三角形，ADFD；（2）如图2，过点A作AHBC，ABC是等边三角形，AHBC，AB2，BH1，AHBH，HDBDBHx1，DF，y（3）ADF是等边三角形，且ADF的面积为，DF2，DF2x22x+4xBD或15如图，ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D
21、为中心旋转MDN（MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图所示），易证BM+CNBD（1）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CNBD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CNBD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明解：（1）结论BM+CNBD成立，理由如下：如图，过点D作DEAC交AB于E，ABC是等边三角形，ABC60，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等边三角形，EDC120，BDBEDE，E
22、DN+CDN120，EDM+EDNMDN120，CDNEDM，D是BC边的中点，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBM+EMBM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BMCNBD；理由如下：如图，过点D作DEAC交AB于E，ABC是等边三角形，ABC60，NCD120，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等边三角形，MEDEDC120，BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM120，CDN+CDMMDN120，CDNEDM，D是BC边的中点，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBMEMBMCN，BMCNBD