1、北京市东直门中学20202021学年度第一学期期中考试高一数学考试时间：120分钟总分：120分一单项选择题：(本题有12道小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集A=1，3，5，B=x|(x-1)(x-3)=0，则=（ ）A. 1，3B. 1C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】先解得集合B，根据交集运算法则，即可求得答案.【详解】解得集合，所以，故选：A2. 已知命题p：$x1B. $x1C. x1D. $x1，x21【答案】C【解析】【分析】存在量词改为全称量词，再否定结论即可得解.【详解】因为命题p：$x1，x21，所以p：，.故
2、选：C3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0，可建立等式关系，进而可求出函数的定义域.【详解】由题意，可得，解得或.所以函数的定义域为.故选：D.4. 设，则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性，可得出的大小关系，从而可得出的大小关系.【详解】由题意，因为函数在上单调递增，且，所以，即.故选：B.5. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性的概念判断即可.【详解】因为函数，是偶函数
3、，函数是非奇非偶函数，排除B、C、D，函数既是奇函数，又在上单调递减，A正确.故选：A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，属常规考题.6. 若实数满足，.则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】因为，所以先判断能否推出，再判断能否推出即可.【详解】因为，又因为，所以由可得到，即；同时，当时，可得，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充要条件的判断，关键在于充分条件、必要条件的定义的应用，属常规考题.7. 若偶函数f(x)在(，0)上是增函数，则下列关系式中成立的是（
4、）A. f(1)f(2)B. f(1)f(2)C. f(2)f(1)D. f(2)f(1)【答案】D【解析】【分析】根据为偶函数，可得，利用的单调性，即可求得答案.【详解】因为为偶函数，所以，又因为在(，0)上是增函数，且，所以，即故选：D8. 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，结合定义域，即可求得值域.详解】，则的对称轴为x=2，且开口向下，所以当x=2时，当x=5时，即的值域为，故选：C9. 已知是定义在R上的奇函数，当时，那么不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据是定义在R上的奇函数，求得函数
5、解析式，然后再由分段函数的定义域，分，三种情况讨论求解.【详解】设，则，所以，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式等价于或或，解得或或，综上：不等式的解集是或.故选：D【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求解析式以及分段函数与不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10. 若对任意的都有，则的取值范围是（ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.【详解】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，故选：A11. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题
6、意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B考点：函数奇偶性的判定12. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象，给出下列四种说法，图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解题的关键是理解
7、图象表示的实际意义，进而得解【详解】由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：C【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题二多项选择题(本大题共3小题，每题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，漏选或选错的得0分)13. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】结合指数幂的运算性质，对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，故C错误；对于D，故D正确.
8、故选：AD.14. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据对数的运算法则，逐一分析选项即可得答案.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD15. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1C. 若在上增函数，则在上为减函数D. 若时，则时，【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的定义与性质判断【详解】由得，A正确；当时，则时，最大值为1，B正确；若在上为增函数，则在上为增函数，C错；若时，则时，D正确故选：ABD【点睛】本题考查函数
9、的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键三填空题：(本题有6道小题，每小题4分，共24分)16. 幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是_.【答案】【解析】【分析】由，可求出的值，即可求出的解析式，进而求出的单调递增区间即可.【详解】由题意，可得，解得，即，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.17. 已知函数是偶函数，则_.【答案】.【解析】【分析】利用偶函数的定义即可求解.【详解】因为函数，且函数是偶函数，所以，即恒成立，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用偶函数的定义求函数解析式中的参数的值的问题，属常规考题.18. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为_.
10、【答案】【解析】试题分析：，矛盾，所以1，2，3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一19. 已知函数，则的定义域为_，不等式的解集为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据偶次方根被开方数非负，可建立等式关系，进而可求出的定义域；由，可得，结合的单调性，可建立不等关系，即可求出不等式的解集.【详解】由题意，可知，即的定义域为；由，且，所以，因为函数在上单调递增，所以，解得.故不等式的解集为.故答案为：；.20. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对和两种
11、情况进行分类讨论，再借助二次函数的性质即可得到答案.【详解】因为不等式对任意恒成立，当时，即（舍去）当时，得到，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查二次不等式恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想，属于简单题.21. 对任意两个实数，定义，若，则函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据定义求出的解析式，再分段求最值比较可得解.【详解】若，即或时，此时当时，的最大值为，若，即时，此时，综上所述：当时，取得最大值.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据函数的定义求出函数解析式是解题关键.四.解答题(本题有4小题，共36分)22. 已知全集U=R，集合A=x|x4|2，B=x|x26x+50，C=
12、(a，a+1).（1）求AB，；（2）若，试求实数a取值范围.【答案】（1）或，；（2）.【解析】【分析】（1）分别解出集合A、B，根据交并补的运算法则，即可求得答案；（2）根据，可得，即可求得a的范围.【详解】（1）由题意得：集合，集合或，所以或，所以；（2）因为，所以，解得.23. 已知函数（1）证明：为偶函数；（2）用定义证明：是上的减函数；（3）当时，求的值域.(直接写出结果)【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）化简整理可得，利用单调性定义证明即可；（3）根据的奇偶性及在上的单调性，可得在上的单调性，结合x的范围，即可
13、求得值域.【详解】（1）证明：由题意得，解得，即的定义域为， 所以对于任意 ，所以为偶函数；（2）当时，在内任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以是上的减函数；（3）.因为为偶函数，所以图像关于y轴对称，由（2）可得是上的减函数，所以在为增函数，又所以，所以当时，求的值域为【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性，利用函数的性质求值域问题，关键点是熟记定义法证明单调性、奇偶性的步骤，并进行证明，奇函数在定义域内单调性相同，偶函数在y轴两侧单调性相反，合理利用性质，可大大简化计算，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题.24. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放个(，且)
14、单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为，其中.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，求的值；(2)若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，则在第分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.【答案】（1）；（2）分钟；（3）见详解.【解析】【分析】（1）由只投放一次个单
15、位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，根据已知可得，代入可求出的值；（2）由只投放一次个单位的洗衣液，可得，分、两种情况解不等式即可求解；（3）令，由题意求出此时的值并与比较大小即可.【详解】（1）因为，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升时，可得，即，解得；（2）因为，所以，当时，将两式联立解之得；当时，将两式联立解之得，综上可得，所以若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟；（3）当时，由题意，因为，所以在第分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.【点睛】本题主要考查分段函数模型选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中
16、等难度题.25. 设函数，其中是非空数集.记.（1）若，求；（2）若，且是定义在上的增函数，写出满足条件的集合P，M，并说明理由；（3）判断命题“若，则”的真假，并加以证明.【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）真命题，证明见解析【解析】【分析】（1）由，结合的解析式，可求出，进而可求出； （2）易知，根据的单调性，可得时，时，进而可得，再由，可求出；（3）利用反证法，假设原命题为假，进而推出矛盾，可知假设是错误的，原命题为真命题.【详解】（1）因为，所以，所以，所以. （2）因为是定义在上的增函数，且，所以时，；时，由，可得，因为，所以，.（3）该命题为真命题，证明如下：假设原命题为假，即存在非空数集，且，但.首先证明，假若，则，所以，即，与矛盾，所以；若存在，且，则，所以，因为，所以，则，所以，且，因为，所以，即有两个不同的值，不满足函数的概念，所以假设错误，即原命题为真命题.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.