1、课时 3 导数与函数的综合问题题型一 用导数解决与不等式有关的问题命题点 1 解不等式【例 1】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2)0，当 x0时，有xf（x）f（x）x20 恒成立，则不等式 x2f(x)0 的解集是()A(2，0)(2，)B(2，0)(0，2)C(，2)(2，)D(，2)(0，2)【答案】D【解析】x0 时f（x）x0，(x)f（x）x为减函数，又(2)0，当且仅当 0 x2 时，(x)0，此时 x2f(x)0.又 f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0，2)命题点2 证明不等式【例2】(2016课标全国)设
2、函数f(x)cos 2x(1)(cos x1)，其中0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x)；(2)求A；(3)证明|f(x)|2A.【解析】(1)f(x)2sin 2x(1)sin x.(2)当1时，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)32f(0)因此A32.当01时，将f(x)变形为f(x)2cos2x(1)cos x1.设tcos x，则t1，1，令 g(t)2t2(1)t1，则 A 是|g(t)|在1，1上的最大值，g(1)，g(1)32，且当 t14 时，g(t)取得最小值，最小值为 g14（1）2812618.令114 1，解得 13(舍去)，或 15.
3、()当 015时，g(t)在(1，1)内无极值点，|g(1)|，|g(1)|23，|g(1)|g(1)|，所以 A23.()当151 时，由 g(1)g(1)2(1)0，知 g(1)g(1)g14.又g14|g(1)|（1）（17）80，所以 Ag142618.综上，A23，015，2618，151，32，1.(3)证明 由(1)得|f(x)|2sin 2x(1)sin x|2|1|.当 015时，|f(x)|1242(23)2A.当151 时，A8 18341，所以|f(x)|12A.当 1 时，|f(x)|31642A.所以|f(x)|2A.命题点3 不等式恒成立问题【例3】(2016湖南
4、长沙长郡中学第六次月考)已知函数f(x)xln xax2a(aR)，其导函数为f(x)(1)求函数g(x)f(x)(2a1)x的极值；(2)当x1时，关于x的不等式f(x)0恒成立，求a的取值范围【解析】(1)由题知 x0，f(x)ln x2ax1，则 g(x)f(x)(2a1)xln xx1，g(x)1xx.当 0 x1 时，g(x)1xx 0，g(x)为增函数；当 x1 时，g(x)1xx 0，g(x)为减函数 所以当 x1 时，g(x)有极大值 g(1)0，g(x)无极小值(2)由题意，f(x)ln x2ax1.当 a0 时，f(x)ln x2ax10 在 x1 时恒成立，则f(x)在(
5、1，)上单调递增，所以 f(x)f(1)0 在(1，)上恒成立，与已知矛盾，故 a0不符合题意 当 a0 时，令(x)f(x)ln x2ax1，则(x)1x2a，且1x(0，1)当 2a1，即 a12时，(x)1x2a0，于是(x)在 x(1，)上单调递减，所以(x)(1)12a0，即 f(x)0 在 x(1，)上恒成立 则 f(x)在 x(1，)上单调递减，所以 f(x)f(1)0 在 x(1，)上恒成立，符合题意 当 02a1，即 0a12时，12a1，(x)1x2a2ax 12ax，若 x1，12a，则(x)0，(x)在1，12a 上单调递增；若 x12a，则(x)0，(x)在12a，上
6、单调递减 又(1)12a0，所以(x)0 在1，12a 上恒成立，即 f(x)0 在1，12a 上恒成立，所以 f(x)在1，12a 上单调递增，则 f(x)f(1)0 在1，12a 上恒成立，与已知矛盾，故 0a12不符合题意 综上所述，a 的取值范围为12，.【方法规律】(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值
7、范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 跟踪训练 1 已知函数 f(x)ln xax.若 f(x)x2 在(1，)上恒成立，求 a 的取值范围【解析】f(x)x2，ln xaxx2，又 x0，axln xx3，令 g(x)xln xx3，则 h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)1x6x16x2x，当 x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数，h(x)h(1)20，即 g(x)0.g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1，当 a1 时，f(x)x2 在(1，)上恒成立题型二 利用导数解决函数零点问题【例 4】(2017福建四地六校联考)已知函数
8、 f(x)13x332x22x5.(1)求函数 f(x)的图象在点(3，f(3)处的切线方程(2)若曲线 yf(x)与 y2xm 有三个不同的交点，求实数 m的取值范围【解析】(1)f(x)13x332x22x5，f(x)x23x2.易求得 f(3)2，f(3)132.f(x)的图象在(3，f(3)处的切线方程是 y132 2(x3)，即 4x2y10.(2)令 f(x)2xm，即13x332x22x52xm，得13x332x25m，设 g(x)13x332x25，曲线 yf(x)与直线 y2xm 有三个不同的交点，曲线 yg(x)与直线 ym 有三个不同的交点，易得 g(x)x23x，令 g
9、(x)0，解得 x0 或 x3，当 x0 或 x3 时，g(x)0，当 0 x3 时，g(x)0，g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0，3)上单调递减，又 g(0)5，g(3)12，即 g(x)极大值5，g(x)极小值12，可画出如图所示的函数 g(x)的大致图象，实数 m 的取值范围为12m5.【方法规律】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 跟踪训练2 已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线
10、yb有两个不同交点，求b的取值范围【解析】f(x)x(2cos x)，令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增 当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上递减 f(x)的最小值为f(0)1.函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，当b1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点 综上可知，b的取值范围是(1，)题型三 利用导数解决生活中的优化问题【例 5】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 yax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该
11、商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3)2x310（x6）2 210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0 f(x)单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x4时，函数f(
12、x)取得极大值，也是最大值 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大【方法规律】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点【解析】由yx239x400，得x1或x40，由于0 x40时，y0；x40时，y0.所以当x40时，y有最小值【答案】40 跟踪训练 3 某品牌电动汽车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系y
13、13x3392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_审题路线图系列一审条件挖隐含【典例】(12 分)已知函数 f(x)12x2aln x.(1)若 a1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若 a1，求函数 f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若 a1，求证：在区间1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)23x3 的图象的下方【规范解答】(1)由于函数 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)x1x（x1）（x1）x，(1 分)令 f(x)0 得 x1 或 x1(舍去)，(2 分)当 x(0，1)时，函数 f(x)单调递减，(3 分)当
14、 x(1，)时，函数 f(x)单调递增，(4 分)所以 f(x)在 x1 处取得极小值为12.(5 分)(2)当 a1 时，易知函数 f(x)在1，e上为增函数，(6 分)f(x)minf(1)12，f(x)maxf(e)12e21.(7 分)(3)证明 设 F(x)f(x)g(x)12x2ln x23x3，则 F(x)x1x2x2（1x）（1x2x2）x，(9 分)当 x1 时，F(x)0，故 f(x)在区间1，)上是减函数，又 F(1)160，在区间1，)上，F(x)0 恒成立 即f(x)g(x)恒成立(11分)因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方(1
15、2分)【温馨提醒】(1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题.方法与技巧 1用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口 2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用 3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 失误与防范 1利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到 2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.