1、学案3 平面向量的数量积考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4返回目录考 纲 解 读 平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考 向 预 测 这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.返回目录返回目录1.平面向量的数量积
2、的概念（1）已知两个非零向量a与b，我们把数量叫做向量a和b的数量积（或内积），记作ab,即ab=，其中是a与b的夹角，叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.规定：零向量与任一向量的数量积都为0.|a|b|cos|a|b|cos|a|cos(|b|cos)返回目录（2）数量积的几何意义：数量积ab等于a 的长度|a|与上的投影|b|cos的乘积.2.平面向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则ae=ea=;(2)aba b=0且ab=0ab;(3)aa=|a|2或;(4)cos=;(5)|ab|a|b|.b在a方向|a|cos aa=|a|b|a|ab返回目录3.平面向量数量积的运算律
3、（1）交换律：；（2）分配律：；（3）数乘向量结合律：.4.向量的长度、距离和夹角公式(1)设a=(a1,a2),则|a|=.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|=.(3)设a=(a1,b1),b=(a2,b2),则cos=222221212121b+ab+abb+aa=|b|a|abab=ba (a+b)c=ac+bc ()a=(a)2221a+a212212)y-(y+)x-(x返回目录5.平面向量数量积的坐标表示（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=.（2）若a=(x,y)，则|a|2=aa=,|a|=.（3）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，
4、则ab.x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 22y+xx2+y2 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则|a-b|=.【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.考点1 数量积的计算返回目录【解析】|a-b|=360cos21221ba2ba)ba(22222返回目录求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为,0,180,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.返回目录已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且x-,.(1)求
5、ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.23232x2x34返回目录【解析】(1)ab=cos xcos -sin xsin =cos2x,a+b=(cos x+cos ,sin x sin ),x ,cosx0,|a+b|=2cosx.23232x2x232x232x|,cosx|2=2cos2x+2=)2xsin-x23(sin+)2xcos+x23(cos=b+a2,3-4返回目录(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.x ,cosx1,当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当co
6、sx=1时,f(x)取得最大值为-1.2123,3-4212123返回目录设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.【分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.考点2 利用向量解决垂直问题【解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.返回目录垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常
7、出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则aba1a2+b1b2=0,aba1b2-a2b1=0.返回目录已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求-(其中k为非零实数).返回目录(1)证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|k
8、a+b|=,|a-kb|=.|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又k0,cos(-)=0.而0|3b-a|b+2a|3b)-ab)(+(2a=cos返回目录由(2a+b)(a-3b)0得2+-60,2或0),2=k=-3k,故使向量2a+b和a-3b夹角为0的不存在.当2或-3时,向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角.解得k2=-.32返回目录已知向量m=(cos,sin)和n=(-sin,cos),(,2),且|m+n|=,求cos()的值.【分析】从向量的模入手，求出满足的条件.考点4 以向量为载体的综合问题25288+2返回目录【解析】解法一：由题意知
9、m+n=(cos-sin+,cos+sin),|m+n|=由已知|m+n|=,得cos+=.又cos(+)=2cos2(+)-1,cos2()=.2,.cos()0.cos()=-.2528422sincos2sincos)+()+-()4+cos(+12=)4+4cos(+4=)sin-(cos22+42574828+22516858+2898+28+254返回目录解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2mn+n2=|m|2+|n|2+2mn+2cos(-sin)+sincos=4+2 (cos-sin)=4 1+cos(+)=8cos2().由已知|m+n|=,得cos=.2,.cos
10、()0.cos()=-.()222222cos)sin2sincos+-(+=2248+2)82(+52854858+2898+28+254返回目录本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用.返回目录已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=(-1,0).(1)求向量b+c的长度的最大值;(2)设=,且a(b+c)，求cos的值.4返回目录【解析】(1)解法一:由已知得b+c=(cos-1,sin),则|b+c|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).-1cos1,0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos=-1时,有|b+c|max
11、=2,向量b+c的长度的最大值为2.返回目录解法二:|b|=1,|c|=1,|b+c|b|+|c|=2,当cos=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,向量b+c的长度的最大值为2.(2)解法一:由已知可得b+c=(cos-1,sin),a(b+c)=coscos+sinsin-cos=cos(-)-cos.a(b+c),a(b+c)=0,即cos(-)=cos.返回目录由=,得cos(-)=cos ,即-=2k(kZ),=2k+或=2k,kZ,于是cos=0或cos=1.解法二：若=,则a=(,).又由b=(cos,sin),c=(-1,0),得a(b+c)=(,)(cos-1,
12、sin)=cos+sin-.444442422222222222222返回目录a(b+c),a(b+c)=0,即cos+sin=1.sin=1-cos,平方后化简得cos(cos-1)=0,解得cos=0或cos=1.经检验,cos=0或cos=1即为所求.返回目录1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代.2.要熟练类似(a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律(,s,tR).3.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.返回目录4.一般地,(ab)c(bc)a即乘法的结合律不成立.因为ab是一个数量,所以(ab)c表示一个与c共线的向量,同理右边(bc)a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下,(ab)c(bc)a.5.零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错:0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.6.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0 ab.7.ab=ac(a0)不能推出b=c,即消去律不成立.8.向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,应为120,而不是60.返回目录