1、北京市东城区（南片）2014-2015学年下学期高一期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知向量，则A. （5,7） B. （5,9） C. （3,7） D. （3,9）【答案】A考点：向量的坐标运算2. 某中学有高中生3500人，初中生1500人. 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为A. 100 B. 150 C. 200 D. 250【答案】A【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A 考点：分层抽样3. 某单位计划在下月1日至7日举办人才
2、交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：随机选择其中的连续两天参加交流会的情况有：共有6种情况，其中在1日至3日期间连续两天参加交流会的有：两种情况，所以其概率为，故选择C考点：古典概率4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】试题分析：第一次循环为：；因为不满足，所以执行第二次循环为：；因为不满足，所以执行第三次循环为：；因为不满足，所以执行第四次循环为：；因为满足，所以执行是此时，所以输出5，故选择B考点：
3、程序框图5. 若，则一定有A. B. C. D. 【答案】B考点：不等式的性质6. 已知、均为单位向量，则向量，的夹角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据可得，因为、均为单位向量，所以，即，所以向量，的夹角为，故选择D考点：向量运算7. 在等差数列中，且前10项和，则的最大值是A. 3 B. 6 C. 9 D. 36【答案】C考点：1.等差数列性质；2.基本不等式8. 下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是A. （1，+） B. （0,1） C. （-1,0） D. （-，-1）【答案】D【解析】试题分析：当时，不等式为显然无解，当时，不等式为，即，所以不等式解集为（-
4、，-1），故选择D考点：解不等式9. 设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意可得： 故选择A考点：向量线性运算10. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数： .则其中是“保等比数列函数”的的序号为A. B. C. D. 【答案】C考点：等比数列性质二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 不等式的解集是_.【答案】【解析】试题分析：不等式变形为：，分解因式可得：，所以解集为考点：解一元二次不等式12. 在ABC中，角A，B，C所对的
5、边分别为a，b，c.若，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，由正弦定理可得： 考点：正弦定理13. 设，向量，且，则_.【答案】考点：向量坐标运算14. 已知为等差数列，为其前n项和。若，则公差_；的最小值为_.【答案】12；-54【解析】试题分析：因为，所以，又因为，所以可得，即数列通项公式为：，当时，当时，所以数列前3项和最小为 考点：等差数列性质15. 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）、平均车长（单位：米）的值有关，其公式为. 如果，则最大车流量为_辆/小时.【答
6、案】1900【解析】试题分析：由题意可得：，当且仅当“”即时等号成立考点：基本不等式求最值16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为. 记第n个k边形数为N（n， k）（，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 四边形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算的值为_.【答案】2490考点：归纳推理三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分）如图，在ABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，点D在直线AC上，且AD=4DC.（I）求BD的长；（II）求s
7、inCBD的值. 【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）由已知可得DC=1. 根据三角形边长可得，在BCD中，由余弦定理可求得BD长；（II）在BCD中，因为已知，以及的长，所以可采用正弦定理求得 试题解析：（I）因为ABC=90，AB=4，BC=3，所以，AC=5，又因为AD=4DC，所以 在BCD中，由余弦定理，得，所以.6分（II）在BCD中，由正弦定理，得，所以，所以.10分考点：1.解三角形；2.正余弦定理18. （本题满分10分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量
8、）频率（甲种酸奶）0.10(10,200.20（20,300.30（30,400.25（40,500.15（I）写出频率分布直方图中的a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（II）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（III）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.【答案】（I）a=0.015；（II）（III）795试题解析：（I）a=0.015；2分4分（II）.6分（III）乙种酸奶平均日销售量为：（箱）.乙种酸奶未来一个月的销售总量为：（箱）.10分考点：1. 频率
9、分布直方图；2.数字特征19. （本题满分9分）某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费交贵，其具体收费情况如下表：求组委会定做该工艺品至少需要花费多少元钱.【答案】4900【解析】试题分析：设甲工厂制造一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，总费用为z元.列式子可得：目标函数为，转化为线性规划问题求得最值试题解析：设甲工厂制造一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，总费用
10、为z元. 那么目标函数为.作出可行域（图略）解方程组解得所以.答：组委会定做该工艺品至少需要花费4900元钱.考点：线性规划的应用20. （本题满分8分）在平行四边形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求得点坐标，设， 即可得到的坐标，有向量坐标运算可得到关于的一元二次函数，进而求得范围试题解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B，C（，），D.令，则，.考点：向量的坐标表示以及运算21.（本题满分9分）已知数列的前n项和为，且是与1的等差中项.（I）求的通项公式；（II）若数列的前n项和为，且对任意，恒成立，求实数的最小值.【答案】（I）；（II）2试题解析：（I）因为，所以.因为是与1的等差中项，所以，即.所以.所以是以1位首项，2位公比的等比数列.所以.5分（II）由（I）可得：.所以，.所以是以1位首项，为公比的等比数列.所以数列的前n项和.因为，所以.若，当时，.所以若对任意，恒成立，则.所以实数的最小值为2.9分考点：1.求数列通项公式；2.数列求和；3.恒成立问题