1、第五章 平面向量 第22节 平面向量的概念及线性运算考纲呈现 1了解向量的实际背景、向量线性运算的性质及其几何意义 2理解平面向量的概念及两个向量相等的含义、向量的几何表示 3掌握向量加法、减法的运算及向量的数乘运算，并理解其几何意义，同时理解两向量共线的含义.诊断型微题组 课前预习诊断双基1向量的有关概念 2.向量的线性运算 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba.【知识拓展】1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量
2、和为零向量 2若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP 12(OA OB)3.OA OB OC(，为实数)，若点 A，B，C 共线，则 1.1在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 2在向量共线的条件中易忽视“a0”，使 可能不存在，也可能有无数个 3要注意向量共线与三点共线的区别与联系 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)零向量与任意向量平行()(2)若 ab，bc，则 ac.()(3)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(4)若 ab，则R 使 ba.()(5)在ABC 中，D 是 B
3、C 的中点，则AD 12(ACAB)()2给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量AB与BA相等则所有正确命题的序号是()ABCD【答案】A【解析】根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量AB与BA互为相反向量，故错误故选 A.3(教材习题改编)已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA a，OB b，则DC _，BC_(用 a，b 表示)【答案】ba ab【解析】如图，DC ABOB OA ba，BC OC OB OA OB ab.4已知 a 与
4、b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.【答案】13【解析】由已知，得 abk(b3a)，k，3k1，解得13，k13.形成型微题组 归纳演绎形成方法 平面向量的概念 1(2018 河南六市联考)给出下列四个命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()ABCD【答案】A【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确ABDC，|AB|DC|且ABDC.又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 A
5、BCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC 且|AB|DC|，ABDC.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同 a，c 的长度相等且方向相同故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是.故选 A.2(2018 大庆一中一模)下列命题正确的是()A单位向量都相等 B若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线C若|ab|ab|，则 ab0 D若 a 与 b 都是单位向量，则 ab1【答案】C
6、【解析】A 选项，方向不一定相同；B 选项，当 b 是零向量时不一定共线；D 选项两个向量不同向时，不成立 微技探究 向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线 1.(2018 重庆一中期末)已知 a，b，c 是任意向量，给出下列命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，则 a，b 方向相同或相反；若 ab，则|a|b|；若 a，b 不共线，则 a，b 中至少有一个为零向量其中正确命题的个数是(
7、)A4 B3C2D1【答案】D【解析】按照平面向量的概念逐一判断若 b0，则都错误；若 ab，则|a|b|，正确；若 a，b 不共线，则 a，b 中一定没有零向量，错误，所以正确命题只有 1 个 2.(2018 湖北武汉二中期末)设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一
8、是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.平面向量的线性运算 1(2018 青岛一模)在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD2DC，则AD ()A23b13cB53c23bC23b13cD13b23c【答案】A【解析】BD 2DC，AD ABBD 2DC 2(ACAD)3AD 2ACA B.AD 23AC13AB23b13c.2(2018 长沙一模)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_【答案】12【解析】DE DB BE12AB23BC 12A
9、B23(BAAC)16AB23AC，116，223，即 1212.微技探究 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值 1.(2018 山西临汾二模)设 D，E，F 分别为ABC 三边 BC，CA，AB 的中点，则DA 2EB3FC()A12ADB32ADC12ACD32AC【答案】D【解析】因为 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，AC
10、，AB 的中点，所以DA 2EB3FC 12(BACA)122(ABCB)123(ACBC)12BAABCB32BC32AC12CA 12AB12BCAC 12ACAC32AC，故选 D.2.(2018 辽宁大连高三双基测试)如图，一直线 EF 与平行四边形ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交对角线 AC 于点 K，其中，AE25AB，AF12AD，AKAC，则 的值为()A29 B27C25 D23【答案】A【解析】AE25AB，AF12AD，AB52AE，AD 2AF.由向量加法的平行四边形法则可知ACABAD，AKAC(ABAD)52AE2AF 52AE2AF.由
11、E，F，K 三点共线可得 29，故选 A.共线向量定理的应用 1(2018 丰台一模)在ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN12NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB29AC，则实数 m 的值为()A19B13C1D3 【答案】B【解析】如图所示，设BPtBN，又BNANAB，APABBPABt(ANAB)(1t)ABtAN(1t)ABt2NC(1t)ABt1223AC(1t)ABt3AC，AP m AB 29AC，m AB 29AC (1t)AB t3AC，m1t，29t3，解得 m13.2(2018 山西临汾一模)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段
12、 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若ACa，BD b，则AF()A14a12bB23a13bC12a14bD 13a23b【答案】B【解析】根据题意，ABACCD DB，所以AB12(ab)，ADACCBBD，所以AD 12(ab)令AFtAE，则AFt(ABBE)tAB34BD t2at4b.由AFAD DF，令DF sDC，又AD 12(ab)，DF s2as2b，所以AFs12 a1s2 b,所以t2s12，t41s2，解方程组得s13，t43，把 s 代入即可得到AF23a13b.微技探究 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系
13、当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 2向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立，若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b不共线 (2018 陕西宝鸡金台区期末)设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC 2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线(1)【证明】ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB，AB，BD 共线 又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)【解】假设 kab 与 akb 共
14、线，则存在实数，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得 k210，k1.思想方法 方程思想在平面向量线性运算中的应用【典例】如图所示，在ABO 中，OC 14OA，OD 12OB，AD 与BC 相交于点 M，设OA a，OB b.试用 a 和 b 表示向量OM.【思路点拨】(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解(2)既然能用 a、b 表示，那我们不妨设出OM manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解【解】设OM manb，则AM OM OA manba(m1)
15、anb.AD OD OA 12OB OA a12b.又A、M、D 三点共线，AM 与AD 共线 存在实数 t，使得AM tAD，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.m1t，nt2.消去 t，得 m12n，即 m2n1.又CM OM OC manb14am14 anb，CBOB OC b14a14ab.又C、M、B 三点共线，CM 与CB共线 存在实数 t1，使得CM t1CB，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1.消去 t1，得 4mn1.由，得 m17，n37，OM 17a37b.【答案】1【解析】由于 c 与 d 同向，所以 ckd(k0)于是 abka(
16、21)b，整理，得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有k，2kk1.整理，得 2210，所以 1 或 12.又因为 k0，所以 0，故 1.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018 全国，7)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB()A34AB14ACB14AB34ACC34AB14ACD14AB34AC【答案】A【解析】作出示意图如图所示，EBED DB 12AD 12CB 1212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC.故选 A.2(2015 全国，7)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()AAD 13AB43ACBAD
17、13AB43ACCAD 43AB13ACDAD 43AB13AC【答案】A【解析】由题意，得AD ACCD AC13BCAC13AC13AB13AB43AC，故选 A.3(2014 全国，6)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()ABC B12ADCAD D12BC 【答案】C【解析】如图，EBFCECCBFBBC ECFB12(ACAB)122AD AD.4(2015 全国，13)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b平行，则实数 _.【答案】12【解析】向量 a，b 不平行，a2b0.又向量 ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数，使 ab(a2b)成立，即 aba2b，则得，12，解得 12.