1、3.1 导数的概念及运算考纲要求 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数1导数与导函数的概念(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_(瞬时速度就是位移函
2、数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为_ P(x0，y0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)5复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积 yuuxy对uu对x【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()
3、(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)1(教材改编)f(x)是函数 f(x)13x32x1 的导函数，则f(1)的值为()A0 B3C4 D73【答案】B【解析】f(x)13x32x1，f(x)x22.f(1)3.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()【解析】由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又
4、由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.【答案】D【答案】D 3有一机器人的运动方程为 st23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134【解析】s(t)2t3t2，s(2)134.4(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_ 【答案】y2x1【解析】由题意可得当 x0 时，f(x)ln x3x，则 f(x)1x3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为
5、 y32(x1)，即 y2x1.【答案】(1，1)5(2015陕西)设曲线 yex 在点(0，1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_【解析】yex，曲线 yex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1e01，设 P(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1，1)题型一 导数的运算【例 1】求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)ycos xex；(4)(易错题)yxsin2x2 co
6、s2x2；(5)yln(2x5)【解析】(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yln x1x(ln x)1x 1x1x2.(3)ycos xex（cos x）excos x（ex）（ex）2 sin xcos xex.(4)yxsin2x2 cos2x2 12xsin(4x)12xsin 4x，y12sin 4x12x4cos 4x 12sin 4x2xcos 4x.(5)令 u2x5，yln u，则 y(ln u)u12x5222x5，即 y22x5.【方法规律】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量
7、，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 跟踪训练1(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0等于()Ae2 B1 Cln 2De(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1B2 C2D0【答案】(1)B(2)B【解析】(1)f(x)2 016ln xx1x2 017ln x，故由 f(x0)2 017 得 2 017ln x02 017，则 ln x00，解得 x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为
8、奇函数，且 f(1)2，f(1)2.题型二 导数的几何意义命题点 1 已知切点的切线方程问题【例2】(1)(2017昆明一检)函数f(x)ln x2xx的图象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)(2017云南统测)已知 f(x)x32x2x6，则 f(x)在点 P(1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A4 B5C.254D.132【解析】(1)f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故该切线方程为 y(2)x1，即 xy30.【答案】(1)C(2)C(2)f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为 y28
9、(x1)，即 8xy100，令 x0，得 y10，令 y0，得 x54，所求面积 S125410254.命题点2 未知切点的切线方程问题【例3】(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30B2xy30 C2xy10D2xy10(2)(2017威海质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10Bxy10 Cxy10Dxy10【解析】(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xl
10、n x上，设切点为(x0，y0)【答案】(1)D(2)B 又f(x)1ln x，y0 x0ln x0，y01（1ln x0）x0，解得 x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 B.命题点 3 和切线有关的参数问题【例 4】(2017西安模拟)设直线 y12xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为()Aln 21 Bln 22C2ln 21 D2ln 22【答案】A【解析】设切点坐标为(x0，ln x0)，则1x012，即 x02，切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线 y12xb 上，ln 21b，即 bl
11、n 21.命题点4 导数与函数图象的关系【例5】如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()【解析】函数的定义域为0，)，当x0，2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0，2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2，3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S
12、为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线【答案】D【方法规律】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1f（x1），y0y1f（x1）（x0 x1）求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢跟踪训练 2(1)已知函数 f(x)3xcos
13、2xsin 2x，af4，f(x)是 f(x)的导函数，则过曲线 yx3 上一点 P(a，b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20 或 3x4y10D3xy20 或 4x3y10(2)(2017郑州二测)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_【解析】(1)由 f(x)3xcos 2xsin 2x 得 f(x)32sin 2x2cos 2x，则 af4 32sin 2 2cos 2 1.由 yx3 得 y3x2，当 P 点为切点时，切线的斜率 k3a23123.又 ba3，则
14、 b1，所以切点 P 的坐标为(1，1)故过曲线 yx3 上的点 P 的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.当 P 点不是切点时，设切点为(x0，x30)，切线方程为 yx303x20(xx0)，P(a，b)在曲线 yx3 上，且 a1，b1.1x303x20(1x0)，2x303x2010，2x302x20 x2010，(x01)2(2x01)0，切点为12，18，此时的切线方程为 y1834x12，综上，满足题意的切线方程为 3xy20 或 3x4y10，故选 C.【答案】(1)C(2)0(2)由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于13，即f(3)13.又因为 g(x
15、)xf(x)，所以 g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知 f(3)1，所以 g(3)1313 0.易错警示系列4 求曲线的切线方程条件审视不准致误【典例】(12分)若存在过点O(0，0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值【易错分析】由于题目中没有指明点O(0，0)的位置情况，容易忽略点O在曲线yx33x22x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况【规范解答】易知点 O(0，0)在曲线 yx33x22x 上(1)当 O(0，0)是切点时，由 y3x26x2，得 y|x02，即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y2x.由y2x，y
16、x2a，得 x22xa0，依题意 44a0，得 a1.(4 分)(2)当 O(0，0)不是切点时，设直线 l 与曲线 yx33x22x相切于点 P(x0，y0)，则 y0 x303x202x0，且 ky|xx03x206x02，又 ky0 x0 x203x02，联立，得 x032(x00 舍去)，所以 k14，故直线 l 的方程为 y14x.(7 分)由y14x，yx2a，得 x214xa0，依题意，1164a0，得 a 164.(10 分)综上，a1 或 a 164.(12 分)【温馨提醒】对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否
17、为切点进行讨论.方法与技巧 1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 3未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程 失误与防范 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导 2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.