1、6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理课后训练巩固提升一、A组1.在ABC中,一定成立的等式是()A.asin A=bsin BB.acos A=bcos BC.asin B=bsin AD.acos B=bcos A解析:由正弦定理可得asinA=bsinB,asinB=bsinA.答案:C2.在ABC中,已知AB=2AC,B=30,则C=()A.45B.15C.45或135D.15或105解析:AB=2AC,由正弦定理得sinCsinB=2,又B=30,sinC=22,ABAC,C=45或C=135.答案:C3.在ABC中,A=60,B=75,b=23+2,则ABC中最小的边长为()
2、A.2B.4C.6+2D.6-2解析:C=180-A-B=45,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,由正弦定理得csinC=bsinB,c=bsinCsinB=(23+2)22sin(45+30)=6+22232+2212=4.答案:B4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.3解析:由cosA=23得sinA=53,由正弦定理得sinC=csinAa=2535=23.由ac得AC,cosC=53.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1,b=3.答案:D5.在ABC中,AB=6,A=75
3、,B=45,则AC=.解析:由正弦定理可知,ABsin180-(75+45)=ACsin456sin60=ACsin45AC=2.答案:26.已知一个三角形的两个内角分别是45,60,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为.解析:不妨设A=45,B=60,则AB=1,C=180-45-60=75.ABC,BCACAB.由正弦定理ABsinC=BCsinA得BC=ABsinAsinC=1sin45sin(45+60)=222212+2232=3-1.这个三角形最小的边长为3-1.答案:3-17.在ABC中,若B=2A,ab=13,则A=.解析:B=2A,sinB=sin2A,sinB=
4、2sinAcosA,sinAsinB=12cosA.由正弦定理,得ab=sinAsinB=13,12cosA=13,cosA=32.又0A0),则有4k+5k+6k=152,k=12.故三边长分别为2,52,3.9.在ABC中,已知a=2,b=2,A=30,解此三角形.解:由asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=2sin302=22.0B0,A为锐角,sinA=1-cos2A=1-19=223,则有tanA=sinAcosA=22313=22.答案:C5.在单位圆上有三点A,B,C,设ABC的三边长分别为a,b,c,则asinA+b2sinB+2csinC=.解析:由正弦定理,得a
5、sinA=2R=2,b2sinB=R=1,2csinC=4R=4,故asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.答案:76.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.解析:2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,2sinBcosB=sin(A+C)=sin(-B)=sinB.又sinB0,cosB=12.又0B,B=3.答案:37.在ABC中,B=60,2b=a+c,试判断ABC的形状.解:2b=a+c,B=60,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC
6、.由A+C=120知C=120-A.3=sinA+sin(120-A)=sinA+32cosA+12sinA=32sinA+32cosA=3sin(A+30).sin(A+30)=1.A=60,C=60.ABC为等边三角形.8.已知ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.解:设R为ABC外接圆的半径.a=2bsinA,2RsinA=4RsinBsinA.sinA0,sinB=12.B为锐角,B=6.令y=cosA+sinC=cosA+sin-(B+A)=cosA+sin6+A=cosA+sin6cosA+cos6sinA=32cosA+32sinA=3sinA+3.由ABC为锐角三角形,知2-BA2,3A2.23A+356,12sinA+332.323sinA+332,即32y32.cosA+sinC的取值范围是32,32.