1、7.1 不等关系与不等式考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式(组)的实际背景；3.掌握不等式的性质及应用 2不等式的基本性质(2)有关分数的性质若 ab0，m0，则babmam(bm0)abambm；ab0)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)1a1bab(ab0)()(3)ab，cdacbd.()(4)若1a1b0，则|a|b|.()(5)若 a3b3 且 ab0，则1a1b.()【答案】B 1设 ab0，则下列不等式中不成立的是()A.1a1b B.1ab1aC|a|b
2、D.a b【解析】由题设得 aab0，所以有 1ab1a成立，即 1ab1a不成立 AB CD【答案】D 2(教材改编)下列四个结论，正确的是()ab，cdacbd；ab0，cd0acbd；ab03 a3 b；ab0 1a2 1b2.3若a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aab0Ba3b30 Ca2b20Dab0【解析】由a|b|0知，a0，且|a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，ab0成立【答案】D 4 (教 材 改 编)下 列 各 组 代 数 式 的 关 系 正 确 的 是_ x25x62x25x9；(x3)2(x2)(x4)；当x1时，x3x2x1；x2
3、y212(xy1)【解析】2x25x9(x25x6)x230，即x25x62x25x9.(x2)(x4)(x3)2x26x8(x26x9)10，即(x2)(x4)(x3)2.当x1时，x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)0，即x3x2x1.x2y212(xy1)(x22x1)(y22y1)1(x1)2(y1)210，即x2y212(xy1)【答案】5(教材改编)若 0ab，且 ab1，则将 a，b，12，2ab，a2b2 从小到大排列为_【解析】0ab 且 ab1，a12b1，2b1 且 2a1，a2ba2a(1a)2a22a 2a1221212.即 a2ab12，又 a2b2(
4、ab)22ab12ab11212，即 a2b212，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又 2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，综上，a2ab12a2b2b.【答案】a2ab12a2b2b题型一 比较两个数(式)的大小【例1】(1)(2016长春模拟)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acba Bacb CcbaDacb(2)若 aln 33，bln 44，cln 55，则()AabcBcbaCcabDbac【解析】(1)cb44aa2(a2)20，cb.又 bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1a122340
5、，ba，cba.(2)方法一 易知 a，b，c 都是正数，ba3ln 44ln 3 log81641，所以 ab；bc5ln 44ln 5log6251 0241，所以 bc.即 cba.【答案】(1)A(2)B 方法二 对于函数 yf(x)ln xx，y1ln xx2，易知当 xe 时，函数 f(x)单调递减 因为 e345，所以 f(3)f(4)f(5)，即 cba.【方法规律】比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商
6、；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_ 跟踪训练 1(1)已知 xR，m(x1)x2x21，nx12(x2x1)，则 m，n 的大小关系为()AmnBmnCmnDmn【解析】(1)m(x1)x2x21 (x1)(x2xx21)(x1)(x2x1)x2(x1)，nx12(x2x1)x112(x2x1)(x1)(x2x1)12(x2x1)，mn(x1)x2x21 x12(x2x1)12(x2x1)12x(x1)120.则有 xR 时，mn 恒成立故选 B.(2)
7、ab18161618181616 1162 9816121698 216，【答案】(1)B(2)ab 98 2(0，1)，98 2161，18160，16180，18161618.即 ab.题型二 不等式的性质【例 2】(2016山东齐鲁名校第二次联考)已知 ab，则下列不等式中恒成立的是()Aln aln bB.1a1bCa2abDa2b22ab【解析】只有在ab0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a0时正确；因为ab，所以D正确【答案】D【方法规律】解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式
8、是否成立时要特别注意前提条件 跟踪训练 2(2016四川绵阳中学段考)下列四个命题，其中正确的命题有()若 a|b|，则 a2b2；若 ab，cd，则 acbd；若 ab，cd，则 acbd；若 ab0，则cacb.A3 个B2 个C1 个D0 个【答案】C【解析】若 a|b|，则 a2b2，正确；若 ab，cd，则 acbd，错误，如 32，13，而 3(1)452(3)；若 ab，cd，则 acbd，错误，如 31，23，而 3(2)1(3)；若 ab0，则1a1b，当 c0时，cacb，错误正确的命题只有 1 个故选 C.题型三 不等式性质的应用【例3】已知1x4，2y3，则xy的取值范
9、围是_，3x2y的取值范围是_【解析】1x4，2y3.3y2，4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，13x2y18.【答案】(4，2)(1，18)探究1 将本例条件改为1xy3，求xy的取值范围【解析】1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，由得4xy0.故xy的取值范围为(4，0)探究2 若将本例条件改为“1xy4，2xy3”，求3x2y的取值范围【解析】设 3x2ym(xy)n(xy)，则mn3，mn2，m52，n12，即 3x2y52(xy)12(xy)，又1xy4，2xy3，5252(xy)10，112(xy)32，3252(xy)12(xy)232，即323x
10、2y232.故 3x2y 的取值范围为32，232.【方法规律】由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x，y)的取值范围 跟踪训练 3(1)(2016三明模拟)若 ab0，则下列不等式一定成立的是()A.1ab1bBa2abC.|b|a|b|1|a|1Danbn(2)设 ab1，c0，给出下列三个结论：cacb；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()ABCD【解析】(1)(特值
11、法)取 a2，b1，逐个检验，可知A，B，D 项均不正确；C 项，|b|a|b|1|a|1|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故选 C.(2)由不等式性质及 ab1 知1a1b，又 c0，所以cacb，正确；构造函数yxc，c0，yxc在(0，)上是减函数，又ab1，acbc，知正确；ab1，c0，acbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确【答案】(1)C(2)D 易错警示系列8 不等式变形中扩大变量范围致误【典 例】设 f(x)ax2 bx，若 1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_【易错分析
12、】解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大【解析】方法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m、n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b，于是得mn4，nm2，解得m3，n1.f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，即 5f(2)10.方法二 由f（1）ab，f（1）ab，得a12f（1）f（1），b12f（1）f（1）.f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.方法三 由1ab2，2
13、ab4【答案】5，10 确定的平面区域如图阴影部分，当 f(2)4a2b 过点A32，12 时，取得最小值 4322125，当 f(2)4a2b 过点B(3，1)时，取得最大值 432110，5f(2)10.【温馨提醒】(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.方法与技巧1用同向不等式求差的范围axb，cydaxb，dycadxybc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2倒数关系在不等式中的作用ab0，ab1a1b；ab0，ab1a1b.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一比差法的主要步骤：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商4求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法失误与防范1abacbc 或 abacbc，当 c0 时不成立2ab1a1b或 ab1a1b，当 ab0 时不成立3abanbn 对于正数 a、b 才成立4.ab1ab，对于正数 a、b 才成立5注意不等式性质中“”与“”的区别，如：ab，bcac，其中 ac 不能推出abbc.6比商法比较大小时，要注意两式的符号.