1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课后训练巩固提升一、A组1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是()A.e1与e1-e2B.e1+e2与e1-3e2C.e1-2e2与-3e1+6e2D.2e1+3e2与e1-2e2解析:-3e1+6e2=-3(e1-2e2),e1-2e2与-3e1+6e2共线,故不能作为基底.答案:C2.如图所示,在矩形ABCD中,若BC=6e1,DC=4e2,则OC等于()A.3e1+2e2B.3e1-2e2C.2e1+3e2D.2e1-3e2解析:OC=12AC=12(AB+BC)=12(DC+BC)=3e1
2、+2e2.答案:A3.若OP1=a,OP2=b,P1P=PP2(-1),则OP等于()A.a+bB.a+(1-)bC.a+bD.11+a+1+b解析:OP=OP1+P1P=a+PP2=a+(OP2-OP)=a+(b-OP),OP=11+a+1+b.答案:D4.在ABC中,D,E,F依次是BC的四等分点,以AB=e1,AC=e2为基底,则AF等于()A.14e1+34e2B.34e1+14e2C.14e1-14e2D.14e1+14e2解析:D,E,F依次是BC的四等分点,AE=12(AB+AC)=12(e1+e2),BC=AC-AB=e2-e1,AF=AE+EF=12(e1+e2)+14BC=
3、12(e1+e2)+14(e2-e1)=14e1+34e2.答案:A5.如图,在ABC中,AHBC于点H,M为AH的中点,若AM=AB+AC,则+的值为()A.-1B.12C.1D.2解析:B,H,C三点共线,AH=(1-t)AB+tAC.2AM=(1-t)AB+tAC.AM=1-t2AB+t2AC,=1-t2,=t2,+=12.答案:B6.如图,C,D是AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以e1,e2为基底来表示OC=,OD=.解析:OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2,OD=OC+CD=OC+13AB=23e1+13e2+13(e2
4、-e1)=13e1+23e2.答案:23e1+13e213e1+23e27.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用m,n表示p的结果是.解析:设p=xm+yn,则3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,得2x+4y=3,-3x-2y=2,解得x=-74,y=138.所以p=-74m+138n.答案:p=-74m+138n8.已知正三角形ABC的边长为2,设BC=2BD,AC=3AE,则ADBE=.解析:ADBE=12(AB+AC)(AE-AB)=12(AB+AC)13AC-AB=16ABAC-12AB2+16AC2-12ABAC
5、=162-124+164-122=-2.答案:-29.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=a+ub,求,u的值.(1)证明:假设a=b(R),则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2共线,得=1,3=-2,故不存在,即a与b不共线,可以作为一组基底.(2)解:设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n=3,-2m+3n=-1,解得m=2,n=1.所以c
6、=2a+b.(3)解:由4e1-3e2=a+ub,得4e1-3e2=(e1-2e2)+u(e1+3e2)=(+u)e1+(-2+3u)e2.所以+u=4,-2+3u=-3,解得=3,u=1.二、B组1.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分,(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第部分,则实数m,n满足()A.m0,n0B.m0,n0C.m0D.m0,n0;OB与OP2方向相反,则n0.答案:B2.在ABC中,(AB-AC)(AB+AC)=0,AB2=ABCB,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:(AB-
7、AC)(AB+AC)=0,AB2-AC2=0,|AB|=|AC|.AB2=ABCB,AB2-ABCB=0.AB(AB+BC)=0.ABAC=0.ABAC.ABC是等腰直角三角形.答案:D3.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.解析:如图,由题意知,D为AB的中点,BE=23BC,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC.1=-16,2=23.1+2=-16+23=12.答案:124.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设AB
8、=a,AD=b,若用a,b来表示向量AN, 则AN=.解析:以AB=a,AD=b作为以点A为公共起点的一组基底,则AN=AD+DN=AD+34DB=AD+34(AB-AD)=14AD+34AB=34a+14b.答案:34a+14b5.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),则+的值等于.解析:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=OD+OE.在RtOCD中,因为|OC|=23,COD=30,OCD=90,所以|OD|=4,|CD|=2
9、,故OD=4OA,OE=2OB,即=4,=2,所以+=6.答案:66.如图,在OAB中,OA=a,OB=b,M,N分别是边OA,OB上的点,且OM=13a,ON=12b.设AN与BM相交于点P,用向量a,b表示OP.解:OP=OM+MP=ON+NP.设MP=mMB,NP=nNA(m,n为实数),则OP=OM+mMB=13a+mb-13a=13(1-m)a+mb,OP=ON+nNA=12b+na-12b=12(1-n)b+na.由a,b不共线,得13(1-m)=n,12(1-n)=m,解得n=15,m=25.故OP=15a+25b.7.如图,在OAB中,已知P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求x,y的值;(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为60时,求OPAB的值.解:(1)BP=PA,BO+OP=PO+OA,即2OP=OB+OA,OP=12OA+12OB,即x=12,y=12.(2)BP=3PA,BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,OP=34OA+14OB.x=34,y=14.OPAB=34OA+14OB(OB-OA)=14OBOB-34OAOA+12OAOB=1422-3442+124212=-9.