1、学案1 向量的线性运算 考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4知识网络构建返回目录考 纲 解 读 平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.返回目录考 向 预 测 主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.返
2、回目录返回目录1.向量的基本概念(1)具有和的量称为向量.(2)向量的表示方法:、.(3)相等向量:且的有向线段表示,或相等向量.大小方向几何表示法字母表示法同向等长同一向量返回目录(4)如果AB=a,那么AB的长度,叫做a的,记作或|AB|.(5)长度为的向量,叫做零向量,记作,零向量的方向.(6)与向量a同方向且长度等于的向量,叫做a的单位向量,若a的单位向量为a0,则a0与a的关系是a0=.(7)通过有向线段AB的直线,叫做向量AB的.(8)如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量或.模|a|零0 不确定非零1|a|a基线平行共线返回目录2.向量的运算(1)向量的加法已知向量a,b,在
3、平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则向量AC叫做,记作.向量加法满足交换律:a+b=.结合律:(a+b)+c=.向量加法可以使用法则、法则(即首尾相接,连首尾).(2)向量的减法相反向量:与a方向且的向量叫做a的相反向量,记作.a与b的和(或和向量)a+b b+a a+(b+c)平行四边形三角形相反等长-a 返回目录把两个向量的起点放在一起,则两向量的差是以的终点为起点,的终点为终点的向量.若共同起点是坐标原点,则差可简记为:向量减向量.如图.(3)向量数乘实数和向量a的乘积是个向量,记作,的长|a|=.a(a0)的方向当 0时,与a同方向当 0时,与a反方向;当=0或a=
4、0时,0a=0或0=0(如图).减向量被减向量终点起点一a a|a|b|,则ab;（2）若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向相同，则a=b;（4）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.返回目录【解析】（1）不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确.（2）不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向.（3）正确.|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b.（4）不正
5、确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确.（5）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可以任意平行移动的.返回目录【分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系，再利用向量的线性运算求解.考点2 向量的线性表示2010年高考大纲全国卷在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b3132323153545453返回目录【解析】如图所示,1=2,CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故应选B.21DABDCACB)ab(31)CBCA(31BA31BD313132返回目录用几
6、个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.返回目录如图4-1-2，以向量OA=a,OB=bOADB,BM=BC,CN=CD,用a,b表示OM,ON,MN.3131返回目录BA=OA-OB=a-b,BM=BA=a-b.OM=OB+BM=b+a-b=a+b.又OD=a+b,ON=OC+CD=OD+OD=OD=a+b.MN=ON-OM=a+b-a-b=a-b.即有OM=a+b,ON=a+b,MN=a-b.21316161616161616561323232323261652161616532322161返回目录设两个非零向量a与b不
7、共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=b(b0).考点3 向量的共线问题返回目录【解析】(1)证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线,又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量
8、,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.返回目录(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.返回目录设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D
9、三点共线,求k的值.返回目录(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-CD,AC与CD共线.又AC与CD有公共点C,A,C,D三点共线.(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,A,C,D三点共线,AC与CD共线,从而存在实数使得AC=CD,即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量基本定理,得3=2-2=-k,解得=,k=.21233421返回目录如图4-1-3所示,在ABO中,OC=OA,OD=OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量OM
10、.【分析】从题设及图中可以看出,直接寻找OM与a,b之间的关系是很难行得通的.因此可先设OM=ma+nb,利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可.考点4 向量知识的综合应用2141返回目录【解析】设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=OB-OA=-a+b.又A,M,D三点共线,AM与AD共线.存在实数t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t(-a+)b.(m-1)a+nb=-ta+tb.m-1=-tn=,消去t得m-1=-2n.2t21212121返回目录即m+2n=1.又CM=OM-OC=ma+nb-a=(m-)a+nb,C
11、B=OB-OC=b-a=-a+b.又C,M,B三点共线,CM与CB共线.存在实数t1,使得CM=t1CB,(m-)a+nb=t1(-a+b),m-=-t1n=t1,消去t1得4m+n=1.由得m=,n=,OM=a+b.414141414141414171717373 返回目录在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有以下几种方法:(1)根据图形,由加减法的定义,可直接得出结论;(2)如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理,用待定系数法求出它们的系数,即可得出结论.返回目录 ).|AC|AC+|AB|AB(=由，可得AP O是平面上一定点,A,B,
12、C是平面上不共线的三个点,动点P满足0,+),则P点的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心B(如图，作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得 ,)|AC|AC+|AB|AB(+OA=OPB ,)|AC|AC+|AB|AB(+OA=OP返回目录式中都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作AB1P1C1，AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分B1AC1，且AB1=,AC1=.由可知AP=AP1,|AC|AC,|AB|AB再由0,+)可知，P点的轨迹是射线AP,所以，P点的轨迹一定通过ABC的内心.故应选B.)|AB|AB|AC|AC返回目录1.将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点,最后的终点为终点的向量;若这两点重合,则和为零向量.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线,但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.4.0与实数0有区别,0的模为数0,它不是没有方向,而是方向不定.0可以看成与任意向量平行.返回目录5.由ab,bc不能得到ac.取不共线的向量a与c,显然有a0,c0.6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.返回目录