1、内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题1. 已知函数的导函数是，且，则实数A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【详解】由题意得，因为，所以，则，故选D.2. 抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.3. 函数的单调减区间
2、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】依题意，可求得，由即可求得函数的单调减区间【详解】解：，令由图得：，函数的单调减区间是，故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于基础题4. 曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可得，则切线的斜率为，又，所以切线方程为，故选D5. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【详解】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，可得弦的中点横坐标为，圆的半径为可得弦长为，设直线与抛物线的交横坐标为则
3、，可得，故选A.6. 已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段的长是（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，则，椭圆的方程为，联立，化简得：，解得或，代入直线得出或，则，所以，故选B考点：椭圆的标准方程及其几何性质7. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为（）A. 6B. C. 3D. 12【答案】A【解析】【分析】先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.【详解】的导数为，可得在点处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为.分别令，可得切线在，轴上的截距为6，2即有围成的三角形的面积为：故选A点睛】本题
4、考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】设，求出到直线 的距离，由此能求出点到直线的距离的最小值【详解】解：椭圆，为椭圆上一点，设，到直线 的距离：，当且仅当时取得最小值点到直线的距离的最小值为故选：【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用，属于中档题9. 若函数ya(x3x)在区间上递减，则a的取值范围是()A. a0B. 1a0C. a1D. 0a1【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，由函数在区间上递减，可
5、得y0的范围为，即可得a的范围【详解】函数y=a（x3x），求导可得，y=a（3x21）=3a（x）（x+），由函数在区间上递减，可得y=a（3x21）=3a（x）（x+）0的范围为，所以a0，故选A【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数的导数关系，属于基础题10. 已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，是自然对数的底数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式等价为，进行求解即可【详解】解：，则不等式等价为，设，则，即在，上为减函数，（4），（4）（4），
6、则不等式等价为，即，在，上为减函数，即不等式的解集为，故选：【点睛】本题主要考查不等式 的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键属于中档题11. 设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形设，则，即，又，在MF1F2
7、中，由余弦定理可得：，即，双曲线的离心率e故选D【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题12. 已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 | PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. D. 8【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：，设椭圆方程为，双曲线方程为，又.，则 ，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为8.故答案为：8.【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公
8、式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.二、填空题13. 曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线，则曲线的方程为_.【答案】【解析】【分析】由得，代入x2+y2=1，即可得曲线的方程.【详解】由得，代入x2+y2=1，得.故答案为：【点睛】本题主要考查利用伸缩变换求曲线的方程，考查学生的基本运算能力.14. 函数yx3ax2x2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是_【答案】(，1)(1，)【解析】试题分析：函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存
9、在导数值大于零和小于零的情况15. 已知，且，则的最小值_.【答案】3【解析】【分析】根据条件便可得到，从而根据三个数的均值不等式计算可得；【详解】解：，；所以，当且仅当，时取“”；的最小值为3故答案为：3【点睛】考查基本不等式用于求最值方法，注意在应用求最小值时，应使得为常数，且，并会判断“”成立的条件，属于基础题16. 在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：由题意设, ，则，又，所以，所以的取值范围为.【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化
10、到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.三、解答题.17. 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知OMOPOQ）10，求t的值【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程，再将其化为极坐标方程 （2）将代入中，求得|OM|，将代入中，得，得到|OP|OQ
11、|=5再根据|OM|OP|OQ|=10，解得t值即可.【详解】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，即 ，故曲线C的极坐标方程为 （2）将代入中，得，则 |OM|=将代入中，得设点P的极径为，点Q的极径为，则 所以|OP|OQ|=5又|OM|OP|OQ|=10，则5=10 t=或【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）已知,求证：恒成立.【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等
12、价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：，再根据，易得试题解析：（1）解：，即，当时，不等式为，即，是不等式的解；当时，不等式为，即恒成立，是不等式的解；当时，不等式为，即，是不等式的解综上所述，不等式的解集为 （2）证明：，恒成立考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活
13、应用，这是命题的新动向19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.（1）求的值；（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当直线过点且垂直于轴时，由知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得的值；（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，消去化简得关于的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线的方程，再根据垂直关系求出直线的方程，由此求得两直线的交点坐标，并判断点在定直线上【详解】（1）因为过，且当垂直于轴时，所以抛物线经过点，
14、代入抛物线方程，得，解得.（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为：，.联立消去，得，则，.因为为中点，所以，则直线方程为：.因为直线过点且与垂直，则直线方程为：，联立，解得即，所以，点在定直线上.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题20. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为，直线经过点A曲线C的极坐标方程为（1）求直线普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线交曲线C于D，E两点（D在x轴上方），求的值【答案】（1）直线的普
15、通方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）将点A的直角坐标代入直线的参数方程，求出的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以，即可得到答案；（2）设直线的参数方程为（t为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为，将点A代入得，则直线的普通方程为由得，即故曲线C的直角坐标方程为（2）设直线的参数方程为（t为参数），代入得设对应参数为，对应参数为则，且，【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21. 已知函数，其中，.（1
16、）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）当时，求出函数导函数，再求出，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；【详解】解：（1）当时，所以，所以，所以切线方程为：，即：（2）函数定义域为，因为，当时，在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，由得，由得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调区间，属于基础题.22. 设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）
17、求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可得，解得，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积 当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为 （等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.
