1、专训一：轴对称与轴对称图形的关系名师点金：轴对称图形是指一个图形，成轴对称是指两个图形的位置关系在某种情况下，二者可以相互转换利用轴对称的性质可以求平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标，还可以利用轴对称的性质解决几何图形中的最短路径等问题 轴对称的作图1下列图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是()2如图，已知ABC和直线MN，求作ABC，使ABC和ABC关于直线MN对称(不要求写作法，只保留作图痕迹)(第2题) 轴对称图形的再认识3(2015河北)一张四边形纸片按图，图依次对折后，再按图打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()(第3题)(第4题)4如图是44的正方形网格，其中已有3
2、个小方格涂成了黑色现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_个 轴对称及轴对称图形的性质的应用类型1利用轴对称及轴对称图形的性质求面积(转化思想)(第5题)5如图，ABC是轴对称图形，且直线AD是ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若ABC的面积为12 cm2，则图中阴影部分的面积是_cm2.类型2利用轴对称求与坐标有关的问题6已知点M(2ab，5a)，N(2b1，ab)(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b2a)2 016的值类型3利用轴对称解决四边形中的折叠问题7把一张
3、长方形纸片ABCD按图中的方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.求证：BHEDGF.(第7题)类型4利用轴对称的性质解决几何中的最值问题8如图，AOB30，点P是AOB内一点，OP10，点M，N分别在OA，OB上，求PMN的周长的最小值(第8题)专训二：轴对称图形性质的应用名师点金：本章中除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形线段和角，灵活运用线段的垂直平分线和角的平分线的性质可以求线段的长度，求角的度数，证明数量关系等 应用于求线段的长1如图，在ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知ADE的周长为
4、12 cm，则BC_.(第1题)2如图，在ABC中，ABBC，ABAC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若ABC的周长为41 cm，一边长为15 cm，求BCE的周长(第2题) 应用于求角的度数3如图，在RtABC中，C90，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将CAB分成两个角，且1225，求ADC的度数(第3题) 应用于证线段相等(作垂线段法)4如图，已知AOB90，OM是AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PCPD.(提示：四边形的内角和等于360)(第4题) 应用于证不等关系(截取法
5、)5如图，AD为ABC的中线，DE，DF分别是ADB和ADC的角平分线求证：BECFEF.(第5题)专训三：活用“三线合一”巧解题名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程 利用“三线合一”求角的度数1如图，房屋顶角BAC100，过屋顶A的立柱ADBC，屋檐ABAC.求顶架上的B，C，BAD，CAD的度数(第1题) 利用“三线合一”求线段的长2如图，在ABC中，ABAC，ADBDBC，DEAB于点E，若CD6，且BDC的周长为26，求A
6、E的长(第2题) 利用“三线合一”证线段、角相等3如图，已知ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF.求证：DEDF.(第3题) 利用“三线合一”证垂直4如图，在ABC中，AC2AB，AD平分BAC，E是AD上一点，且EAEC.求证：EBAB.(第4题) 利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBF交BF的延长线于点D.试说明：BF2CD.(第5题) 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6如图，在ABC中，ADBC于点D，且ABC2C.试说明：CDABBD.
7、(第6题)专训四：巧用特殊角构造含30角的直角三角形名师点金：在解决有关三角形的问题时，遇到含有120角的等腰三角形或含有30角的三角形时，常常通过连线，延长或作垂线的方式，构造含30角的直角三角形，将角的关系转化为边的关系来解决问题 直接运用含30角的直角三角形的性质(第1题)1(2015青岛)如图，在ABC中，C90，B30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE1，则BC()A. B2 C3 D.22如图，已知ABC中，ABAC，C30，ABAD，AD4 cm.求BC的长(第2题) 连线段构造含30角的直角三角形3如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D为BC的中点，DEA
8、C于E，AE8，求CE的长(第3题)4如图，已知在ABC中，ABAC，A120，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E.求证：CE2BE.(第4题) 延长两边构造含30角的直角三角形5如图，四边形ABCD中，AD4，BC1，A30，B90，ADC120，求CD的长(第5题) 作垂线构造含30角的直角三角形6如图，四边形ABCD中，B90，DCAB，AC平分DAB，DAB30.求证：AD2BC.(第6题)7如图，在ABC中，BDDC，若ADAC，BAD30.求证：ACAB.(第7题)答案专训一1B2解：如图(第2题)3C4.456点拨：ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，ABD与ACD关于直线
9、AD对称SABDSACDSABC.又点E，F是AD上的任意两点，BEF与CEF关于直线AD对称SBEFSCEF.S阴影SABESBEFSBDFSABDSABC126(cm2)6解：(1)点M，N关于x轴对称，解得(2)点M，N关于y轴对称，解得(b2a)2 01632(1)2 0161.7证明：由折叠可知ABHEBHABD，CDGFDGCDB，HEBAGFDC90，ABBE，CDDF.ABCD，ABDCDB.EBHFDG.ABCD，BEDF.在BHE和DGF中，BHEDGF(ASA)点拨：用轴对称性质解决折叠问题的关键是折叠前后重合的部分全等，所以对应角相等、对应线段相等(第8题)8解：如图，
10、分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，OP1，OP2，此时PMN的周长最小，PMN的周长PMMNPNP1MMNNP2P1P2，P1OP22AOP2BOP2AOB60，OPOP1OP2，OP1P2为等边三角形P1P2OP1OP2OP10.PMN的周长的最小值为10.专训二112 cm2解：因为ABC的周长为41 cm，一边长为15 cm，ABBC，所以AB15 cm，所以BC11 cm.根据线段垂直平分线的性质可得BECEAECEAC，所以BCE的周长BECEBC26 cm.3解：1225，设12x，则25x.DE是线段AB的垂直平分线
11、，ADBD.B25x.ADC2B10x.在ADC中，2x10x90，解得x7.5，ADC10x75.4证明：如图，过点P作PEOA于点E，PFOB于点F，(第4题)PECPFD90.又OM是AOB的平分线，PEPF.AOB90，CPD90，PCEPDO3609090180.而PDOPDF180，PCEPDF.在PCE和PDF中，PCEPDF(AAS)PCPD.5证明：在DA上截取DHBD，连接EH，FH.AD是BC边上的中线，CDBDDH.DE平分ADB，BDEHDE.又DEDE，BDEHDE(SAS)BEHE.同理CDFHDF(SAS)，CFHF.在HEF中，HEHFEF，BECFEF.专训
12、三1解：因为ABAC，BAC100，ADBC，所以BC40，BADCAD50.2解：BDC的周长BDBCCD26，CD6，BDBC20.ADBDBC，ADBDBC10.ABACADCD10616.ADBD，DEAB，AEEBAB8.3证明：连接AD.ABAC，D为BC的中点，ADBC，ADB90.ABAC，BAC90，BC45.在ABD中，BAD180BADB45，BBAD，BDAD.又BDCD，ADCD，DACC45 ，BDAC.又BEAF，BDEADF(SAS)，DEDF.(第4题)4证明：如图，过点E作EFAC于F.EACE，AFAC.又ABAC，AFAB.AD平分BAC，FAEBAE.
13、又EAEA，AEFAEB(SAS)ABEAFE90，即EBAB.(第5题)5解：如图，延长BA，CD交于点E.BF平分ABC，CDBD，DBCDBE，BDCBDE90，又BDBD，BDCBDE.BCBE.又BDCE，CE2CD.BAC90，BDC90，AFBDFC，ABFACE.又ABAC，BAFCAE90，ABFACE(ASA)BFCE.BF2CD.(第6题)6解：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AEAB，所以AEBABC.因为ADBC，所以AD是BE边上的中线，即DEBD.又因为ABC2C，所以AEB2C.而AEBCAEC，所以CAEC.所以CEAEAB，故CD
14、ABBD.专训四1C2解：ABAC，C30，BC30.又ABAD，ADB60.又ADBCCAD，CAD30C.CDAD4 cm.ABAD，B30，BD2AD8 cm.BCBDCD12 cm.3解：连接AD，ABAC，D为BC的中点，ADBC，BADCADBAC12060.在RtADE中，EAD60，ADE30，AD2AE16.在ABC中，ABAC，BAC120.BC30，AC2AD21632.CEACAE32824.(第4题)4证明：如图，连接AE.ABAC，BAC120，BC30.DE垂直平分AB，BEAE.BAEB30.EAC1203090.又C30，CE2AE.又BEAE，CE2BE.5
15、解：延长AD，BC交于点E.A30，B90，E60.又ADC120，EDC18012060.DCE是等边三角形设CDCEDEa，则有2(1a)4a，解得a2.CD的长为2.6证明：过点C作CEAD交AD的延长线于E.DCAB，DAB30，CDE30.在RtCDE中，CDE30，CD2CE.又AC平分DAB，DACBAC，又DCAB，BACDCA，DACDCA，ADCD.又CEAE，CBAB，AC平分DAB，BCCE，AD2BC.7证明：过点B作BEAD交AD的延长线于点E，则DEB90 .BAD30，BEAB.ADAC，DAC90，DEBDAC.又BDCD，BDECDA，BEDCAD，BEAC，ACAB.点拨：由结论ACAB和条件BAD30，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30角的直角三角形，所以过点B作BEAD交AD的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键15