1、绝密启用并使用完毕前山东省实验中学三月诊断训练试题 数学试题 2022.3一、单项选择题：本大题共 8 小题,每小题5 分，共 40分1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D. 2 ，若z为实数，则a的值为 A. B. C. D. 3.若非零向量满足，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为、的3个崎岖路段进行信号
2、检测，若甲没有安排去往标记为的崎岖路段，则不同的安排方法共有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 6种5. 函数的图象大致为（ ）6. 2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程常娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度单位与燃料质量(单位)火箭质量单位的函数关系为，若已知火箭的质共为火箭的最大速度为则火箭需要加注的燃料为(参考数值为结果精确到0.01（ ） 7.如图，已知F为双曲线的右焦点，平行于x轴的直线分别交C的渐近线和右支于点，且，则的渐近线方程为 A.B. C.
3、 D. 8.已知函数，则函数的零点个数是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共 4 小题,每小题5分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）9. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是 A.在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平B. 若“
4、租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元C. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元D. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元10.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下说法正确的是A. B. 数列是等比数列；C. 数列的前n项和为D. 若存在正整数，使，则.11.已知点是函数图象的一个对称中心，其中为常数且，则以下结论正确的是 A. 函数的最小正周期为B. 将的图象向右平移个单位所得的图象关于y轴对称C. 函数在上的最小值为 D. 若，则12.已知函数，则下列结论正确
5、的是 A. 函数在0，上单调递减 B. 函数在上有极小值C. 方程在上只有一个实根D. 方程在上有两个实根三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 曲线在点处的切线方程为_14.若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于_15.若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为_用数字表示16. 矩形中，现将沿对角线AC向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的表面积为_；若翻折过程中BD的长度在范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是_四 解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题10分）在中，内角的对边分别为，已知（1）求；（2）是线段上的点，若，求的面积
6、18.（本小题12分）已知数列中，前项和为，若，（，且） （）求数列的通项公式； （）记，求数列的前项和19.（本小题12分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点（1）求证：平面平面（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为20. （本小题12分）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为（1）写出正确选项的
7、所有可能情况; 如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；（2）从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？21. （本小题12分）已知离心率为的椭圆（）过点（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点，且，求直线AB的斜率22. （本小题12分）已知函数（1）证明：在区间存在唯一的极值点；（2）试讨论的零点个数山东省实验中学三月诊断训练试题答案一、二选择题123456789101112DDCBACCDACACDBCABD三、填空题：13、 14、 3 15、 35 16、 ； 四、解答题：17解析：
8、（1）由正弦定理得 则，化简得： 2分即，则 4分（2）设，由题意得：5分在中，则 6分，得7分结合，可得 8分则 9分10分 18解析：（1）在数列中， 且，式式得： 1分所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 2分 3分当时， 4分当时，也满足上式， 5分所以数列的通项公式为 6分（2）由（1）知， ，则 7分 8分，得： 9分 11分 12分19. 【解析】解法一：（1）因为底面，平面，所以.1分因为为正方形，所以，又因为，所以平面.2分 因为平面，所以.3分因为，为线段的中点，所以，4分又因为，所以平面5分又因为平面，所以平面平面.6分（2）因为底面，以为坐标原点，分别以的方向为轴，
9、轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则， 7分所以设点的坐标为所以 设为平面的法向量， 则所以取，则.8分设为平面的法向量， 则所以取，则.10分因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，11分解得，故当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为.12分20【解析】（1）依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有种，.2分且这10种正确答案是等可能的记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，根据古典概型的概率计算公式，有4分（2）如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，
10、且，故X的分布列为X的数学期望为6分如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，且，故Y的分布列为Y的数学期望为9分如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且，故Z的分布列为Z的数学期望为11分 因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项12分21【解析】（1）依题意，1分又在椭圆E上，有，所以3分因此，椭圆E的标准方程为4分（2）设点，则由可得5分由A、C因此两点在椭圆E上，有6分两式相减得，即8分同理可得10分因此，直线AB的方程为，进而可得直线AB的斜率为12分22【解析】（1）函数的定义域为，导函数为1分当时，所以在单
11、调递减2分又因为，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点3分当时，；当时，因此，在单调递增，在单调递减，故在区间存在唯一的极值点4分（2）令，则当时，；当时，因此，在单调递增，在单调递减5分由于，且当时，故当时，从而在区间没有零点7分当时，从而，在单调递减又，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点9分当时，由（1）知在单调递增，在单调递减又，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点11分综上所述，有且只有2个零点12分6. 因为所以所以所以故选7.8【答案】D 令.当时，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；当时，由，解得，.作出函数，直线、的图象如下图所示
12、：由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；线与函数的图象有两个交点；线与函数的图象有且只有一个交点. 综上所述，函数的零点个数为. 故选：D.9【解析】解：对于选项A：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为，“其他服务业”的生产总值占比，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A正确，对于选项B：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，又因为“房地产业”生产总值占比，所以“房地产业”生产总值为亿元，故选项B错误，对于选项C：若“金融业”生产总值为4
13、2000亿元，因为“金融业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，故选项C正确，对于选项D：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，又因为第三产业生产总值占比，第一产业生产总值占比，所以第一产业生产总值为亿元，所以选项D错误11【解析】解：因为点是函数图象的一个对称中心，所以，即，解得，又因为，所以A.最小正周期为故错误B.向右平移个单位得函数，关于y轴对称，故正确C.当时，所以所以，所以函数fx在上的最小值为故正确D.当时，单调递减，当时，单调递增，所以，则，故错误故选：BC12【解析】解：因为，所以，当，即，所以，所以，所以，当时，当时，；当，即，所以，所以，所以，当时，当时，所以当0，时，单调递减，故A正确；又因为当时，时，所以在处取得极小值，故B正确；因为，所以在上不只有一个实数根，故C错因为方程，即，所以，所以，正切函数在上单调递增，当时，时，当时，且当时，作出两函数的大致图象，如图所示：由图象可得，当，函数与的图象有两个交点，故D正确16【解析】解：由于，四面体外接球的半径为，所以外接球表面积为；过D作，垂足为E，连接BE，矩形ABCD中，则，点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧为二面角的平面角以E为原点，以EA，ED，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，解得，点轨迹的圆心角为，点轨迹的长度为故答案为：
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