1、5.4.3正切函数的性质与图象新课程标准解读核心素养1.能够借助单位圆中的正切线画出函数ytan x的图象数学抽象、直观想象2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性并能利用其性质解决相关问题直观想象、数学运算我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性质与图象问题(1)前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数图象的？(2)类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数的图象是否适用？知识点正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值
2、域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在区间上是增函数对称性对称中心1正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调递减区间，没有最大值和最小值2画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，(0，0)，“两线”是指x和x，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在R上是递增的()(3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心()(4)正切函数的最小正周期为.()答案：(1)(2)(3)(4)2函数y2tan的定义域为()A.B
3、.C.D.答案：D3函数ytan x，x的最大值为_答案：14函数ytan的单调递增区间是_答案：，kZ正切函数的定义域及值域例1(链接教科书第212页例6)(1)函数y的定义域为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(2)函数ytan2x2tan x3的最小值为_解析(1)由1tan0，得tan1，所以kxk，kZ，解得k0)的周期为1，则f的值为()ABC. D.(2)已知函数f(x)tan x，若f(a)5，则f(a)_解析(1)依题意T1，所以f(x)tan x.所以ftan .故选D.(2)易知函数f(x)为奇函数，故f(a)f(a)0，则f(a)f(a)5.答案(1)D(2)
4、5正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期；(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(x)与f(x)的关系 跟踪训练1函数f(x)|tan 2x|是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数解析：选Df(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)为偶函数，T.2函数y3tan的图象的一个对称中心是()A. B.C. D(0，0)解析：选C函数ytan x的图象的对称中心为，kZ.由x，kZ，得xk，kZ，所以函数y3tan的图象
5、的对称中心是，kZ.令k0，得.正切函数的单调性及应用例3(1)比较大小：tan和tan；(2)求函数ytan的单调区间解(1)tantantan ，tantantan .又0，ytan x在内单调递增，tan tan.(2)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk(kZ)，求得x的范围即可；(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可 跟踪训练1函数f(x)tan的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选A由kxk(kZ)得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为(kZ)2若函数ytan x在内是减函数，则的取值范围为_解析：由题意知其周期T，即.|1，又函数为减函数，0，T，2，故选C.3函数ytan的单调递增区间是_解析：令k2xk，kZ，解得x，kZ.答案：，kZ4求函数ytan，x的值域解：由0x得0，从而.tan tantan ，即1tan .所求函数的值域为(1，
