1、高考调研 第1页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习专题研究一 曲线与方程高考调研 第2页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习专题讲解 题组层级快练 高考调研 第3页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习专题讲解 高考调研 第4页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习例1 设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程高考调研 第5页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习【解析】方法一：直译法：设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOP，OC中点为M(12，0)，则|MP|12|OC|12，得方程(x12)2y2
2、14，考虑轨迹的范围知0 x1.方法二：定义法：OPC90，动点P在以M(12，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|1，再利用圆的方程得解高考调研 第6页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习方法三：相关点法：设Q(x1，y1)，则 xx12，yy12x12x，y12y.又(x11)2y211，(2x1)2(2y)21(0 x1)方法四：参数法：设动弦PQ的方程为ykx，代入圆的方程得(x1)2k2x21，即(1k2)x22x0，xx1x2211k2，ykxk1k2消去k即可高考调研 第7页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习方法五：(参数法)设Q点坐标为(1cos，sin)
3、，P(x，y)的坐标为x1cos2，ysin2，消即可【答案】(x12)2y214(0|BC|6.可知P点轨迹是以B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)以BC为x轴，BC中点为原点建立坐标系得P点轨迹方程为x281y2721(y0)【答案】x281y2721(y0)高考调研 第11页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习(2)设动直线l垂直x轴，且与椭圆x22y24交于A，B两点，P是l上满足PAPB1的点，求点P的轨迹方程【解析】A，B两点的坐标分别为Ax，4x22，Bx，4x22.设P(x，y)，则PA0，4x22y，PB0，4x22y.由PAPB1，得x22y26(2x2)【答
4、案】x22y26(2x2)高考调研 第12页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习(3)ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程【解析】以BC定直线为x轴，过A作x轴的垂线建系，则A(0，b)设外心M(x，y)，则MN是BC的垂直平分线，N为垂足|MA|MB|.【答案】x22byb2a20|MA|x2yb2，|MB|MN|2|BN|2 a2y2.所以x22byb2a20.高考调研 第13页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习例2 自抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和
5、连接焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程【答案】y22x2x【解析】相关点法：设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q12，y1，F12，0.OP的方程为yy1x1x.FQ的方程为yy1x12.联立得x1 2x12x，y1 2y12x代入抛物线方程可得y22x2x.高考调研 第14页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习探究2(1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的，如本题中P是主动点，R是次动点(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足
6、一定的规律高考调研 第15页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习已知抛物线C：y24x的焦点为F.(1)点A，P满足2.当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；(2)在x轴上是否存在异于原点的点Q，使得点Q关于直线y2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由思考题2【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，则AP(xxA，yyA)因为F的坐标为(1,0)，所以FA(xA1，yA)高考调研 第16页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习由AP2FA，得(xxA，yyA)2(xA1，yA)，即xxA2xA
7、1，yyA2yA，解得xA2x，yAy.代入y24x，得到动点P的轨迹方程为y284x.(2)假设存在这样的点Q，其坐标为(t,0)，点Q关于直线y2x的对称点Q(x，y)，则 yxt12，y2xt，解得x35t，y45t.高考调研 第17页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习由Q在抛物线C上，将Q的坐标代入y24x，得4t215t0，即t0或t154.所以存在满足题意的点Q，其坐标为(0,0)或(154，0)点(0,0)不符合题意Q(154，0)【答案】(1)y284x(2)存在，Q(154，0)高考调研 第18页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习例3 过点M(2,0)
8、作直线l交双曲线x2y21于A，B两点，已知OP OA OB.求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【解析】(参数法)：设l的方程为yk(x2)，代入方程x2y21，得(1k2)x24k2x4k210.当k1时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 4k21k2，x1x24k21k21，高考调研 第19页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习y1y2k(x12)k(x22)k(x1x2)4kk4k21k24k 4k1k2.设P(x，y)，由OP OA OB，得(x，y)(x1x2，y1y2)(4k21k2，4k1k2)x 4k21k2，y 4k1k2.高考调研 第20页第九
9、章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习，得xyk.将代入，得y4xy1xy2，化简，得x2y24x0，即(x2)2y24.当斜率不存在时，易知P(4,0)满足方程，故所求轨迹方程为(x2)2y24，其轨迹为双曲线【答案】(x2)2y24，轨迹为双曲线高考调研 第21页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习探究3 在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等高考调研 第22页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习思考题3设椭圆方程为x2
10、 y24 1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，l上的动点P满足OP 12(OA OB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程【解析】方法一：直线l过点M(0,1)，当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组ykx1，x2y241 的解高考调研 第23页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习将代入并化简，得(4k2)x22kx30.所以x1x2 2k4k2，y1y284k2.于是OP 12(OA OB)(x1x22，y1y22)(k4k2，44k2)高考
11、调研 第24页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习设点P的坐标为(x，y)，则x k4k2，y44k2，消去参数k，得4x2y2y0.当直线l的斜率不存在时，A，B的中点坐标为原点(0,0)，也满足方程.所以点P的轨迹方程为4x2y2y0.高考调研 第25页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习方法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以x21y2141.x22y2241.，得x21x2214(y21y22)0，所以(x1x2)(x1x2)14(y1y2)(y1y2)0.高考调研 第26页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习当
12、x1x2时，有x1x214(y1y2)y1y2x1x20.并且 xx1x22，yy1y22，y1x y1y2x1x2，将代入并整理，得4x2y2y.当x1x2时，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，2)高考调研 第27页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习这时点P的坐标为(0,0)，也满足.所以点P的轨迹方程为x2116y122141.【答案】4x2y2y0高考调研 第28页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习例4 已知椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为 53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点
13、P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程高考调研 第29页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习【思路】(1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方程；(2)讨论两条切线的斜率是否存在，斜率存在时，设出切线方程，利用直线与椭圆相切得判别式0，建立关于k的一元二次方程，利用两根之积为1，求出点P的轨迹方程【解析】(1)由题意知c 5，ca 53，所以a3，b2a2c24.故椭圆C的标准方程为x29y241.高考调研 第30页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习(2)设两切线分别为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x
14、轴，可知P(3，2)当l1与x轴不垂直且不平行时，x03.设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为1k，故l1的方程为yy0k(xx0)，联立x29y241，得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360.高考调研 第31页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习因为直线l1与椭圆C相切，所以0.即9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240.所以36k24(y0kx0)240.所以(x209)k22x0y0ky2040.所以是方程(x 209)x22x0y0 xy 2040(x03)的一个根，同理1k是方程(x209)x22x0y0 xy2040(x03)的另
15、一个根所以k1k y204x209，得x20y2013，其中x03.高考调研 第32页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习所以此时点P的轨迹方程为x20y2013(x03)因为P(3，2)满足x20y2013，所以综上可知，点P的轨迹方程为x20y2013.【答案】(1)x29y241(2)x20y2013高考调研 第33页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习探究4 高考题中求轨迹问题的主要类型是直译法，相关点法和参数法高考调研 第34页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习(2014新课标全国文)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于
16、A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积思考题4【思路】(1)设出点M的坐标，再根据CM MP 0求得点M的轨迹方程；(2)解题的关键是将条件|OP|OM|进行合理转化高考调研 第35页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习【解析】(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则 CM(x，y4)，MP(2x,2y)由题设知CM MP 0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆高考调研 第36页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为13.故l的方程为y13x83.又|OM|OP|22，O到l的距离为 4 105，|PM|4 105，所以POM的面积为165.高考调研 第37页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习【答案】(1)(x1)2(y3)22(2)x3y80，SPOM165高考调研 第38页第九章 解析几何新课标版 数学（理）高三总复习题组层级快练