1、第6节 函数的奇偶性与周期性考纲呈现 1能结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，并能判断函数的奇偶性 2熟练掌握具有奇偶性的函数的性质，并会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3了解函数周期性、最小正周期的含义，并会判断和应用简单函数的周期性求解具体问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称 奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称 f(x)f(x)y 轴f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于
2、函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做 f(x)的最小正周期 f(xT)f(x)最小最小正数3函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 4函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x；(1)若 f(xa)f(
3、x)，则 T2a(a0)(2)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)(3)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有f(x)f(x)或 f(x)f(x)，而不能说存在 x0 使 f(x0)f(x0)或 f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数的图象不一
4、定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)若函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)也是偶函数()(5)若 T 为函数 f(x)的一个周期，则 nT(nZ 且 n0)也是函数 f(x)的周期()2已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)等于()A2B0C1D2【答案】A【解析】f(1)f(1)(11)2.故选 A.3(2015 天津，7)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log
5、25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBcabCacbDcba【答案】B【解析】由函数 f(x)2|xm|1 为偶函数，得 m0，所以 f(x)2|x|1，当 x0 时，f(x)为增函数，log0.53log23，所以 log25|log23|0.所以 bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故选 B.4设 f(x)是定义在 R 内的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.【答案】1【解析】函数的周期是 2，所以 f32 f322 f12，根据题意，得 f12 412221.5(教材习题改编)已
6、知函数 f(x)是定义在 R 内的奇函数，当 x0时，f(x)x(1x)，则 x0 时，f(x)_.【答案】x(1x)【解析】当 x0，f(x)(x)(1x)又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)f(x)x(1x)形成型微题组 归纳演绎形成方法 判断函数的奇偶性 1(2018 陕西西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()Af(x)x Bf(x)exCf(x)cos xDf(x)exex【答案】D【解析】A，B 选项中显然为非奇非偶函数；C 中 f(x)cos x 为偶函数；D 中函数定义域为 R，又 f(x)exex(exex)f(x)，f(x)exex 为奇函数 2(2018 广
7、东佛山质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Af(x)xsin 2x Bf(x)x2cos xCf(x)2x12xDf(x)x2sin x【答案】D【解析】对于 A，定义域为 R，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数；对于 B，定义域为 R，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；对于 C，定义域为 R，f(x)2x 12x2x12xf(x)，为偶函数；用排除法可知选 D.微技探究 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f(x
8、)是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数)是否成立 1.(2018河 北 衡 水 武 邑 中 学 月 考)已 知 函 数f(x)sin x，x0，sin x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是奇函数 Bf(x)是偶函数Cf(x)是周期函数 Df(x)在22k，22k(kZ)上为减函数【答案】B【解析】由题意，x0，则x0，f(x)sin(x)sin xf(x)同理，x0，f(x)f(x)，函数 f(x)是偶函数故选 B.2.(2018 北京房山模拟)下列函数中为奇函数的是()Aysin2xByx
9、cos xCy xDy|x|【答案】B【解析】对于 A，D，满足 f(x)f(x)，函数是偶函数；对于 B，满足 f(x)f(x)，函数是奇函数；对于 C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数故选 B.函数的周期性及其应用 1(2018 云南玉溪一中月考)已知 f(x)是定义在 R 内的偶函数，且f(x2)1fx，当 2x3 时，f(x)x，则 f(105.5)_.【答案】2.5【解析】f(x4)f(x2)21fx2f(x)，故函数 f(x)的周期为 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意得 f(2.5)2.5，f(105.5)2.5.2(2019
10、 河北唐山调研)已知函数 f(x)是定义在 R 内的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)1fx，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则 f(2 015)f(2 017)的值为_【答案】0【解析】当 x0 时，f(x2)1fx，f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个周期 f(2 017)f(1)log221，f(2 015)f(2 015)f(3)1f11.f(2 015)f(2 017)0.微技探究 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质，对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值 1.(2018 安徽淮南模拟)已知 f(x)是定义在 R
11、上的以 3 为周期的偶函数若 f(1)1，f(5)2a3a1，则实数 a 的取值范围为()A(1,4)B(2,1)C(1,0)D(1,2)【答案】A【解析】f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，由 f(1)1，f(5)2a3a1，得 f(5)2a3a1 1，即2a3a1 12a3a1a1a4a10，0，x0，x32x21，xf(2x1)成立的 x 的取值范围是()A13，1B，13(1，)C13，13D，13 13，【答案】A【解析】函数 f(x)ln(1|x|)11x2，显然对于 xR 均有 f(x)f(x)故 f(x)为偶函数当 x(0，)时
12、，f(x)ln(1x)11x2，f(x)是单调递增的，故 f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，解得13x1.故选 A.4(2018 江苏，9)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)cosx2，0 x2，x12，2x0，则 f(f(15)的值为_【答案】22 【解析】由函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，可知函数 f(x)的周期是 4，所以 f(15)f(1)112 12，所以 f(f(15)f12 cos422.5(2017 全国，14)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_.【答案】12【解析】由题意，知 f(x)f(x)，则 f(2)f(2)f(2)16412，所以 f(2)12.6(2017 山东，14)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0 时，f(x)6x，则 f(919)_.【答案】6【解析】由 f(x4)f(x2)可知 f(x)是周期函数，且 T6，所以 f(919)f(61531)f(1)f(1)6.