1、专题能力训练9三角变换、平面向量与解三角形一、选择题1.已知sin2=13,则cos2-4=()A.13B.-13C.23D.-232.若平面向量a与b的夹角为60,a=(6,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.3B.213C.4D.123.已知锐角A,B满足2tan A=tan(A+B),则tan B的最大值为()A.22B.2C.22D.244.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-bc-a=sinAsinC+sinB,则B=()A.6B.4C.3D.345.已知A(-3,0),B(0,3),O为坐标原点,点C在AOB内,且AOC=60,设OC=OA+OB,则实数=
2、()A.33B.3C.13D.36.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足csin A=3acos C,则sin A+sin B的最大值为()A.1B.2C.3D.3二、填空题7.在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则ABC的形状为.8.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)(a-2b),则mn等于.9.在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2=2b+c2,且tan A=3tan C,则b=.三、解答题10.(2014江苏高考,15)已知2,sin=55.(1)求sin4+的值;(2)求cos56-
3、2的值.11.已知a=(sin,1),b=(1,cos),c=(0,3),-20,02,其图象的两个相邻对称中心的距离为2,且过点3,1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=5,SABC=25,角C为锐角,且满足fC2-12=76,求c的值.答案与解析专题能力训练9三角变换、平面向量与解三角形1.C解析:cos2-4=1+cos2-22=1+sin22=1+132=23,故选C.2.B解析:由题意知|a|=6,|a+2b|2=a2+4ab+4b2=36+461cos60+4=52,|a+2b|=213.3.D解析:由2tan A=tan(A+
4、B)可得2tan A=tanA+tanB1-tanAtanB,2tan2Atan B-tan A+tan B=0.tan B=tanA2tan2A+1=12tanA+1tanA,又A为锐角,2tan A+1tanA22,tan B24,故选D.4.C解析:由sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R,代入整理得c-bc-a=ac+bc2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cos B=12,所以B=3,故答案为C.5.C解析:由OC=OA+OB,得OA=OC-OB=BC,因此OA与BC共线.设C点坐标为(x,3)(x0),AOC=60,BOC=30.|x|3=tan
5、30=33.x=-1,BC=(-1,0).OA=(-3,0),=13.6.C解析:csin A=3acos C,sin Csin A=3sin Acos C,即sin C=3cos C.tan C=3,C=3,A=23-B.sin A+sin B=sin23-B+sin B=3sinB+6.0B23,6B+656.故当B+6=2,即B=3时,sin A+sin B的最大值为3,应选C.7.直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B,sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,sin Acos B+cos As
6、in B=1,即sin(A+B)=sin C=1,C=2.故ABC为直角三角形.8.-12解析:ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).由(ma+nb)(a-2b)-(2m-n)=4(3m+2n),整理得14m=-7n,则mn=-12.9.4解析:(方法一)在ABC中,tan A=3tan C,sin Acos C=3cos Asin C,则由正弦定理及余弦定理有aa2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bcc,化简并整理得2(a2-c2)=b2.又由已知得a2-c2=2b,4b=b2,解得b=4或b=0(舍)
7、.(方法二)由余弦定理得a2-c2=b2-2bccos A.又a2-c2=2b,b0,b=4ccos A+2.tan A=3tan C,sin Acos C=3cos Asin C.sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C,即sin(A+C)=4cos Asin C,也即sin B=4cos Asin C.由正弦定理得sin B=bcsin C,故b=4ccos A.由解得b=4.10.解:(1)因为2,sin=55,所以cos=-1-sin2=-255.故sin4+=sin4cos+cos4sin=22-255+2255=-1010.(2)由(1)知sin2=2si
8、ncos=255-255=-45,cos2=1-2sin2=1-2552=35,所以cos56-2=cos56cos2+sin56sin2=-3235+12-45=-4+3310.11.解:(1)4a-c=(4sin,4)-(0,3)=(4sin,1).(4a-c)b,4sincos-1=0.sin2=12.-2,2,2(-,).2=6或2=56,即=12或=512.(2)a+b=(sin+1,1+cos),|a+b|=(sin+1)2+(1+cos)2=3+2(sin+cos)=3+22sin+4,由(1)知-4+40,=2.又f(x)的图象过点3,1,sin23-6+12=1,即sin2+=12.cos=12.02,=3.f(x)=sin2x+6+12.(2)fC2-12=sinC-6+6+12=sin C+12=76,sin C=23.0C2,cos C=53.又a=5,SABC=12absin C=125b23=25,b=6.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=21,c=21.