1、第7节 幂函数与二次函数考纲呈现 1掌握幂函数的图象和性质，结合函数 yx，yx2,yx3，y1x，yx12 的图象，了解它们的变化情况 2理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1幂函数(1)幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数(2)常见的 5 种幂函数图象 yx(3)常见的 5 种幂函数的性质 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2 为 f(
2、x)的零点 ax2bxc(a0)(m，n)(2)二次函数的图象和性质 3.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点(3)当 0 时，yx 在0，)上为增函数；当 0 时，yx 在(0，)上为减函数 4若 f(x)ax2bxc(a0)，则当a0，0时恒有 f(x)0，当a0，0时，恒有 f(x)0.1对于函数 yax2bxc，要是二次函数，就必须满足 a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要讨论 a0 和 a0 两种情况 2幂
3、函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；若幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()(2)二次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(3)在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数 y2x12 是幂函数()(5)若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()2函数 y12x25x1 的对称轴和顶点坐标分别
4、是()Ax5；5，232 Bx5；5，232Cx5；5，232Dx5；5，232 【答案】A【解析】y12(x210 x)112(x5)225112(x5)2232，对称轴为 x5，顶点坐标为5，232，选 A.3已知 f(x)x2pxq 满足 f(1)f(2)0，则 f(1)的值是()A5 B5 C6D6【答案】C【解析】由 f(1)f(2)0，知方程 x2pxq0 的两根分别为 1,2，则 p3，q2，f(x)x23x2.f(1)6.故选 C.4在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax1a的图象可能是()【答案】B【解析】若 a0，由 yxa 的图象排除 C，D 选项，由 yax1a
5、的图象知应选 B；若 a0，由 yxa 的图象可排除 A，B 选项，但 yax1a的图象均不适合，综上选 B.5(教材习题改编)已知幂函数 yf(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为_；在区间_内单调递减【答案】yx12 (0，)形成型微题组 归纳演绎形成方法 幂函数的图象和性质 1(2018 江西高三第一次联考)已知幂函数 f(x)x 的图象经过点2，22，则 f(4)的值等于()A16B 116C2D12【答案】D【解析】幂函数 f(x)x 的图象经过点2，22，所以 2 22 212，即 a12，所以 f(4)412 12，故选 D.2(2019 天津静海一中调研)已知幂函数 f(
6、x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)内是减函数，则 n 的值为()A3 B1C2D1 或 2【答案】B【解析】由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3.当 n1 时，f(x)x21x2在(0，)内是减函数且关于 y 轴对称；当 n3 时，f(x)x18 在(0，)内是增函数，不符合题意故n1 符合题意 微技探究 1.幂函数的形式是 yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式 2在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴
7、 3在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 1.(2018 东北师大附中高三模拟)已知幂函数 f(x)xn，n2，1,1,3的图象关于 y 轴对称，则下列选项正确的是()Af(2)f(1)Bf(2)f(1)Cf(2)f(1)Df(2)f(1)【答案】B【解析】幂函数 f(x)xn，n2，1,1,3的图象关于 y 轴对称，n2，则 f(x)1x2，f(x)f(x)，而 f(x)在(0，)上递减，f(2)f(2)f(1)，故选 B.2.(2018 河南郑州一中高三模拟)若幂函数 f(x)(m2m1)xm在(0，)上为
8、增函数，则实数 m()A2B1C3D1 或 2【答案】A【解析】幂函数 f(x)(m2m1)xm 在(0，)上为增函数，所以 m2m11，并且 m0，解得 m2.故选 A.求二次函数的解析式 1(2018 四川德阳一中月考)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式为_【答案】f(x)12x22x1【解析】设 f(x)a(x2)21，a0，又二次函数的图象过点(0,1)，4a11，a12，f(x)12(x2)2112x22x1.2(2018 湖北宜城一中月考)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1.则 f(x)_.【答
9、案】x22x【解析】设 f(x)的解析式为 f(x)ax(x2)，又 f(x)有最小值为1，f(x)ax(x2)a(x1)2a a1，a1.f(x)x22x.微技探究 求二次函数解析式的方法 1.(2018 辽宁沈阳模拟)已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，则 f(x)_.【答案】x22x1【解析】由 f(x)ax2bx1 的最小值为 f(1)0，可得 b2a1，4acb24a0，则b2a，4a1a4a0，a1，b2，f(x)x22x1.2.(2018 唐山一中月考)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的
10、值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.【答案】2x24【解析】f(x)(xa)(bx2a)bx2(ab2a)x2a2 是偶函数，ab2a0，则 a0 或 b2.又值域为(，4，则 a0 不符合，a0，b2，f(x)2x22a2.又 2a24，f(x)2x24.二次函数的图象和性质命题角度 1 二次函数的图象 (2018 东北育才中学模拟)设 abc0，则二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()【答案】D【解析】由 A，C，D，知 f(0)c0.abc0，ab0.对称轴 x b2a0，A，C 错误，D 符合要求 由 B 知 f(0)c0，ab0.x b2a0，B 错误 命题角度 2
11、 二次函数的单调性 (2018 河南开封一模)函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0D3,0【答案】D【解析】当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足题意 当 a0 时，f(x)的对称轴方程为 x3a2a，由 f(x)在1，)上递减知a0，3a2a 1，解得3a0，综上，a 的取值范围为3,0 命题角度 3 二次函数的最值 (2018 深圳一模)若函数 f(x)x26x8，x1，a的最小值为f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,3C3，)D(3，)【答案】B【解析】因为函数 f(x)x26x
12、8 的图象的对称轴为 x3，借助函数的图象知，实数 a 的取值范围是(1,3 命题角度 4 二次函数的恒成立问题 (2018 江西九江模拟)已知 f(x)x22(a2)x4，若对x3,1，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_【答案】12，4 【解析】因为 f(x)x22(a2)x4，其对称轴为 x(a2)，对x3,1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：a20 或3a21，1，f10，解得 a或 1a4 或12a1.所以 a 的取值范围为12，4.微技探究 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴的位置，定义区间三者相互制约，要注意分
13、类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域 1.(2018 河北保定模拟)两个二次函数 f(x)ax2bxc 与 g(x)bx2axc 的图象可能是()【答案】D【解析】函数 f(x)图象的对称轴为 x b2a，函数 g(x)图象的对称轴为 x a2b，显然 b2a与 a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在 y 轴的同侧只有 D 满足 2.(2018 安徽皖北第一次联考)已知函数 f(x)x22ax
14、1a在区间0,1上的最大值为 2，则 a 的值为()A2B1 或3C2 或3D1 或 2【答案】D【解析】函数 f(x)图象的对称轴为 xa，且开口向下，分三种情况讨论：当 a0 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0,1上是减函数，f(x)maxf(0)1a.由 1a2 得 a1.满足 a0.当 0a1 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1.由 a2a12，解得 a1 52或 a1 52.0a1，两个值都不满足，舍去 当 a1 时，函数 f(x)x22ax1a 在区间0,1上是增函数，f(x)maxf(
15、1)12a1a2.a2.满足 a1.综上可知，a1 或 a2.3.(2018 四川成都新津中学高三模拟)已知 f(x)x2ax1 在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是_【答案】2，)【解析】由题意 f(x)x2ax1 的对称轴为 xa2.又 f(x)在(1，)上单调递增，且开口向上，所以a21a2.故答案为2，)4.(2018 珠海模拟)若当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围为_【答案】(，5【解析】当 x(1,2)时，由 x2mx40，得 mx4x.令 f(x)x4x，则 mf(x)对 x(1,2)恒成立，即 mf(1)5.故 m 的取值范围是(，5 易
16、错警示 分类讨论思想在二次函数最值中的应用【典例】已知函数 f(x)ax22x(0 x1)，求 f(x)的最小值【思路点拨】参数 a 的值确定 f(x)图象的形状；当 a0 时，函数f(x)的图象为抛物线，a 的值不确定，需要进行分类讨论，当 a0 时，函数 f(x)2x，要根据开口方向和对称轴与所给范围的关系，确定最小值【规范解答】【解】(1)当 a0 时，f(x)2x 在0,1上单调递减，f(x)minf(1)2.2 分(2)当 a0 时，f(x)ax22x 图象的开口方向向上，且对称轴为 x1a.3 分 当1a1，即 a1 时，f(x)ax22x 图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，1
17、a 上单调递减，在1a，1 上单调递增 f(x)minf1a 1a2a1a.6 分 当1a1，即 0a1 时，f(x)ax22x 图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上单调递减 f(x)minf(1)a2.9 分(3)当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x1a0，在 y 轴的左侧，f(x)ax22x 在0,1上单调递减 f(x)minf(1)a2.11 分 综上所述，f(x)mina2，a0.若对任意 x3，)，f(x)|x|恒成立，则 a 的取值范围是_【答案】18，2 【解析】如图所示，若对任意 x3，)，要使函数 yf(x)的图象在 y|x|图象的下方，则必有f33，f00，且在(0，)内直线 yx 与 yx22x2a 相切或相离，所以xx22x2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程 x2x2a0，(1)242a0，解得 a18.由得 96a23 且 a20，所以 a2.综上，18a2.3(2017 北京，11)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2 的取值范围是_【答案】12，1 【解析】x2y2x2(1x)22x22x1，x0,1，所以当 x0 或 1 时，取最大值 1；当 x12时，取最小值12；因此取值范围为12，1.