1、学案8 幂 函 数填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点1考点2考点3 考点4 返回目录考 纲 解 读幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况.21xx1返回目录1.高考以基础知识为主,考查幂函数的图象与性质,多以选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性较强的解答题.2.以常见的5种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点.考 向 预 测返回目录1.一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.例如y=x,y=x2,y=x3,y=等都是幂函数
2、,而y=2x2,y=x3+1等都不是幂函数.21xx1y2.幂函数的性质一般地,当0时,幂函数y=x有下列性质:(1)图象都通过点.(2)在第一象限内,函数值随x的增大而.y=x(R)(0,0),(1,1)增大(3)在第一象限内,1时,图象是的;01时,图 象是的.(4)在第一象限内,过(1,1)点后,图象向无限伸展.当0时,幂函数y=x有下列性质:图象都通过点;在第一象限内,函数值随x的增大而,图象是向的;在第一象限内,图象向上与轴无限地接近,向右与轴无限地接近;在第一象限内,过(1,1)点后,|越大,图象下降的速度越.返回目录向下凸向上凸右上方(1,1)减小下凸y x 快3.形如f(x)=
3、（其中mN+,nZ）的幂函数的性质(1)当n为偶数时，f(x)为函数，图象关于对称.(2)当m,n都为奇数时，f(x)为函数，图象关于对称.(3)当m为偶数且n为奇数时，f(x)是函数,图象 只在第一象限内.返回目录非奇非偶偶y轴奇原点mnx返回目录4.幂函数y=x,y=x2,y=x3,的图象如图.5.幂函数y=x,y=x2,y=x3的性质,x=y21x1y21xy x1=y返回目录y=x y=x2 y=x3 定义域 R R R 0,+)(-,0)(0,+)值域 R 0,+)R 0,+)(-,0)(0,+)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(-,0)减,(0,+)增 增 增(-,0)
4、减,(0,+)减 定点(0,0)(1,1)(1,1)21xy-1x=y返回目录考点1 比较大小2010年高考全国卷设a=log32,b=ln2,c=5 ,则()A.abc B.bcaC.cab D.cba21【分析】先换为同底的对数,再比较大小.C 【解析】a=log32=.因为,所以即cab.故应选C.返回目录51c,elog1b,3log1221elog3log522,elog13log15122化为同底数的对数是本题的关键.返回目录比较下列各组数的大小:.(-1.9),3.8(4)(4.1);)32(3)(-;)91(-8-(2);3.1(1)35332-52323287872525和和
5、和和)6(返回目录【解析】(1)函数y=在(0,+)上为减函数,又33.1 .25x2525(2),函数y=在(0,+)上为增函数.又,则,从而.8787)81-(8-9181 8787)()(91818787)(89187x(3)函数 y=在(0,+)上为减函数,又,返回目录.)6()6(-,)32)32(-32323232(32x632.)6(-)32(-3232.(4.1)(3.8)(-1.9)0,(-1.9)1,13.81,01(4.1)(4)2535353323252525返回目录考点2 幂函数的定义当x(0,+)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为()
6、A.m=2 B.m=-1C.m=-1或m=2 D.m【分析】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数小于零.251返回目录【解析】解法一:依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又函数在(0,+)上是减函数,-5m-3 ,故m=-1舍去,m=2.故应选A.解法二:特值验证法,验证当m=-1,2时,是否满足题意即可.当m=2时,函数化为y=x-13符合题意;而当m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.故应选A.53解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数必须为1,指数是实数即可,若
7、有其他性质问题可依据幂函数的图象与性质进一步求解.返回目录返回目录已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是(0,+)上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数.(1)因为f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.返回目录(2)若f(x)是幂函数且又是(0,+)上的增函数,m2-m-1=1-5m-30,(3)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,解得m=-,此时m2-m-10,故m=-.(4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,m=-,此时m2-m-10,
8、故m=-.则m=-1.54545252(5)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-10,故m=-1.综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+)上的增函数;当m=-时,f(x)是正比例函数;当m=-时,f(x)是反比例函数;当m=-1时,f(x)是二次函数.返回目录5452返回目录考点3 幂函数的图象【分析】先根据幂函数f(x)和g(x)分别过点(2,2)和(-2,)求得f(x)和g(x)的解析式,然后根据h(x)的定义求得h(x)的解析式,最后借助函数h(x)的图象求解.若点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点
9、(-2,)在幂函f(x),f(x)g(x)g(x),f(x)g(x),试求函数h(x)的最大值以及单调区间.241数g(x)的图象上,定义h(x)=41【解析】(1)设f(x)=x,点(,2)在f(x)的图象上,（）=2,即f(x)=x2；又设g(x)=x,点（-2，）在g(x)的象上，(-2)=,=-2.即g(x)=x-2.返回目录241412返回目录在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图所示.x-2,x1.根据图象可知函数h(x)的最大值等于1,单调递增区间是(-,-1)和(0,1);递减区间是(-1,0)和(1,+).则有h(x)=利用函数图象可以很直观判断函数
10、的最值和单调区间.返回目录返回目录若上题中的点(,2)改为(2,8),探求h(x)的单调性及奇偶性.2【解析】设f(x)=x,过点(2,8),=3,f(x)=x3.由上题知,g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=g(x)的图象,如图,返回目录从图中及h(x)的定义可知x-2,x1x3,x1,且在定义域(-,1)上h(x)为增函数,在1,+)上h(x)为减函数.又h(-2)=(-2)3=-8,h(2)=2-2=,h(-2)h(2),且h(-2)-h(2),h(x)为非奇非偶函数.h(x)=41返回目录考点4 幂函数的性质已知幂函数f(x)=(mZ)为偶函数,且在区间(0,
11、+)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=的奇偶性.【分析】先求m,然后根据奇偶性的定义判断.x 3-2m-m2xf(x)b-f(x)a【解析】(1)f(x)是偶函数,m2-2m-3应为偶数,又f(x)在(0,+)上是单调减函数,m2-2m-30,即-1m3.又mZ,m=0,1,2.当m=0或2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;当m=1时,m2-2m-3=-4,m=1,即f(x)=x-4.返回目录返回目录(2)F(x)=-bx3,F(-x)=+bx3.当a0,b0时,F(x)为非奇非偶函数;当a=0,b0时,F(x)为奇函数;当a0,b=0时,F(x)为偶函数;当a=
12、0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.2xa2xa本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间(0,+)上是减函数,结合m的取值范围,解出m值,从而求出f(x).在第(2)问中,当不能准确判断F(-x)与F(x)是否相等时,自然想到对a,b进行分类讨论.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较f(-)与f(-)的大小.(1)解法一:f(x)=其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位,再向上平移 1 个单位而得到,如图,所以该函数在(-2,+)上是减函数,在(-,-2)上是增函数.44xx54xx22222)2(1x44xx54xx
13、22返回目录返回目录解法二:f(x)=1+(x+2)-2,设x10,y=f(x)在(-,-2)上是增函数,即增区间为(-,-2);当x1,x2(-2,+)时,f(x2)-f(x1)0,y=f(x)在(-2,+)上是减函数,即减区间为(-2,+).(2)图象关于直线x=-2对称,又-2-(-)=-2f(-).44xx54xx22222122212121222)(x2)(x4)x)(xx-(x2)(x1-2)(x12222返回目录1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.幂函数的定义域的求法可分5种情况,即为零;为正整数;为负整数;为正分数;为负分数.返回目录3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等类型的题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的数学思想和方法.