1、第58节 参数方程考纲呈现 了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用直线的参数方程解决问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以将参数方程化为普通方程(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)，那么xft，ygt就是曲线的参数方程 通过消去参数2常见曲线的参数方程和普通方程 1将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t
2、)的值域，即 x 和 y 的取值范围 2直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线x2tcos30，y1tsin150(t 为参数)的倾角角 为 30.()(2)过 M0(x0，y0)，倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M0M 的数量()(3)方程x2cos，y12sin表示以点(
3、0,1)为圆心，以 2 为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程x2cost，y4sint(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.()2直线x2t，y1t(t 为参数)与曲线x3cos，y3sin(为参数)的交点个数为_【答案】2【解析】直线方程可化为 xy10，曲线方程可化为 x2y29，圆心(0,0)到直线 xy10 的距离 d 12 22 3.故直线与圆相交，有两个交点故答案为 2.3直线 l：x1 2t，y2 2t(t 为参数)上到点 A(1,2)的距离为 4 2的点的坐标为_【答案】(3,6)或(5，2)【解析】设直线 l 上到点
4、A 的距离为 4 2的点为点 Q(x，y)，则|QA|11 2t222 2t2 2t2 2t24 2，解得 t2 2，所以 Q(3,6)或 Q(5，2)故答案为(3,6)或(5，2)形成型微题组 归纳演绎形成方法 参数方程与普通方程的互化(2018 贵州遵义模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xt，yta(t 为参数)过椭圆 C：x3cos，y2sin)(为参数)的右顶点，求常数 a 的值 【解】直线 l 的普通方程为 xya0，椭圆 C 的普通方程为x29y241，椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)直线 l 过(3,0)，3a0，a3.微技探究 消去参数的方法一般有三种(1)利用
5、解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围 (2018河 北 保 定 模 拟)已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为x 5cos，ysin(0)和x54t2，yt(tR)，求它们的交点坐标【解】将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x25 y21(0y1，5x 5)和 y245x，联立解得交点为1，2 55.参数方程的应用(2
6、017 全国，22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a.【解】(1)曲线 C 的普通方程为x29y21.当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.由x4y30，x29y21解得x3，y0或x2125，y2425.从而 C 与直线 l 的交点坐标为(3,0)，2125，2425.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos，sin)到 l 的距离 d|3cos 4si
7、n a4|17.当 a4 时，d 的最大值为a917.由题设得a917 17，所以 a8；当 a0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1t24.又直线 l 过点 P(3，5)，故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.极坐标方程和参数方程的综合应用(2017 全国，22)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为x2t，ykt(t 为参数)，直线 l2 的参数方程为x2m，ymk(m 为参数)设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
8、轴建立极坐标系，设 l3：(cos sin)20，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径【解】(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程为 yk(x2)；消去参数 m得 l2 的普通方程为 y1k(x2)设 P(x，y)，由题设得ykx2，y1kx2，消去 k 得 x2y24(y0)所以 C 的普通方程为 x2y24(y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(02，)联立2cos2sin24，cos sin 20 得 cos sin 2(cos sin)故 tan 13，从而 cos2 910，sin2 110.代入 2(cos2sin2)4 得 25，所以交点 M 的极径
9、为 5.微技探究 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想 (2018 安徽十校联考)已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是x3t，ym 3t)(t 是参数，m 是常数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 asin3，点M 的极坐标为4，6，且点 M 在曲线 C 上(1)求 a 的值及曲线 C 的直
10、角坐标方程；(2)若点 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上，求|MN|的长【解】(1)将点 M 的极坐标4，6 代入方程 asin3，得 4asin63，所以 a4.由 4sin3 得 2sin 2 3cos，22sin 2 3cos，将xcos，ysin)代入化简得 x2y22 3x2y0，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22 3x2y0.(2)由 x2y22 3x2y0 配方得(x 3)2(y1)24，曲线C 是半径为 2 的圆，且圆心坐标为(3，1)已知点 M 在圆 C 上，由点 M 关于直线 l 的对称点 N 在圆 C 上，得直线 l 经过圆 C 的圆心，33t，1m
11、 3t，)m2.这时直线 l 的参数方程是x3t，y2 3t，)消去参数 t，得 x 3y2 30，易知点 M 的直角坐标为(2 3，2)，点 M 到直线 l 的距离为 3，|MN|2 3.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018 全国，22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos，y4sin(为参数)，直线 l 的参数方程为x1tcos，y2tsin(t为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率【解】(1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161.当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为
12、ytan x2tan，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin)t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20.又由得 t1t242cos sin 13cos2，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.2(2018 全国，22)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l与O 交于 A，B 两点(1)求 的取值范围；(
13、2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【解】(1)O 的直角坐标方程为 x2y21.当 2时，l 与O 交于两点 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2.l 与O 交于两点当且仅当21k21，解得 k1 或 k1，即 2，34 或 4，2.综上，的取值范围是4，34.(2)l 的参数方程为xtcos，y 2tsin.t为参数，434 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB2，且 tA，tB满足 t22 2tsin 10.于是 tAtB2 2sin，tP 2sin.又点 P 的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点 P 的轨迹的参数方程是x 22 sin 2，y 22 22 cos 2.为参数，434
