1、第三章万有引力定律目标定位 1.掌握解决天体运动问题的思路和方法.2.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.3.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.4.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法.学案5 习题课：天体运动知识探究 自我检测 一、分析天体运动问题的思路 知识探究 解决天体运动问题的基本思路，行星或卫星的运动一般可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，建立基本关系式：ma，式中a是向心加速度.常用的关系式为 1.，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，可得v、T与半径r的关系.GMmr2GMmr2 mv2r m2rm42T2 r2.忽略自转 mgGMmR2，即
2、物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力.此式有两个用途：求星体表面的重力加速度gGMR2，从而把万有引力定律与运动学公式结合解题；黄金代换式 GMgR2.例1 地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则()A.卫星的速度为 2R0g2B.卫星的角速度为g8R0C.卫星的加速度为 g2D.卫星的周期为 2 2R0g解析 由GMm2R02mam v22R0m2(2R0)m42T2(2R0)及 GMgR20可得卫星的向心加速度 ag4，角速度 g8R0线速度 v 2R0g2，周期 T2 8R0g，所以A、B正确，C、D错误.答案 AB 二、赤道物体、同步卫星和近地卫
3、星转动量的比较 赤道上的物体、同步卫星和近地卫星都近似做匀速圆周运动，当比较它们的向心加速度、线速度及角速度(或周期)时，要注意找出它们的共同点，然后再比较各物理量的大小.1.赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点，由vr和a2r可分别判断线速度、向心加速度的关系.2.不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由GMmr2 mamv2r m2rmr42T2 可分别得到 aGMr2、vGMr、GMr3 及 T2 r3GM，故可以看出，轨道半径越大，a、v、越小，T 越大.例2 如图1所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q均在赤道平面上
4、绕地心做匀速圆周运动.设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则()A.v1v2v3B.v1v2v3 C.a1a2a3D.a1a3a2 图1解析 卫星的速度v，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3v2.q是同步卫星，其角速度与地球自转角速度相同，所以其线速度v3r3v1r1，选项A、B均错误.由Gma，得a，同步卫星q的轨道半径大于近地资源卫星p的轨道半径，可知a3a2.GMrMmr2GMr2由于同步卫星q的角速度与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q的轨道半径大于e的轨道半径，根据a2r可知a1a3.根据以
5、上分析可知，选项D正确，C错误.答案 D 三、人造卫星的变轨问题1.卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，GMmr2 mv2r 成立.2.卫星变轨时，是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化.(1)当人造卫星减速时，卫星所需的向心力F向m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.(2)当人造卫星加速时，卫星所需的向心力F向m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.v2rv2r3.卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以向心加速度相同.4.飞船对接：两飞船对接前应处于高、低不同的轨道上，目标船处于
6、较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接.例3 2013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功.“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务.图2为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是()图2A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度 C.卫星在轨道1上经过Q
7、点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度 D.卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度 解析 同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：GMmr2 mv2r，vGMr因为 r1r3，所以 v1v3，由 vr得 13在Q点，卫星沿着圆轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等，在圆轨道1上引力刚好等于向心力，即F.mv21r而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供卫星以v2速率做匀速圆周运动时所需的向心力，即F，所以v2v1.卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时，根据机械能守恒可知此时的速率v2v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时所受的地球引力
8、也相等，但是卫星在椭圆轨道2上做近心运动，说明Fm，v22rmv22r卫星在圆轨道3上运行时引力刚好等于向心力，即Fm，所以v2v3.由以上可知，速率从大到小排列为：v2v1v3v2 答案 D v23r四、双星问题 1.双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星.2.双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点.(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.(3)两星的运动周期、角速度相同.(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2L.3.双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它
9、们做圆周运动的向心力，即m12r1m22r2.4.双星问题的两个结论：(1)运动半径：m1r1m2r2.(2)质量之和：m1m2.Gm1m2L242L3GT2例4 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起.设两者的质量分别为m1和m2，两者相距为L.求：(1)双星的轨道半径之比；解析 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而被吸引在一起，从而保持两星间距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度必须相同.如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2.由万有引力提供向心力，有 Gm1m2
10、L2 m12R1Gm1m2L2 m22R2由两式相除，得R1R2m2m1.答案 m2m1(2)双星的线速度之比；解析 因为 vR，所以v1v2R1R2m2m1.答案 m2m1(3)双星的角速度.解析 由几何关系知R1R2L 联立式解得 Gm1m2L3.答案 Gm1m2L3自我检测 1 2 3 41.(天体运动的分析)火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比()A.火卫一距火星表面较近 B.火卫二的角速度较大 C.火卫一的运动速度较大 D.火卫二的向心加速度较大 1 2 3 4解析 由GMmr2 mam
11、v2r m42T2 r 得：aGMr2，vGMr，r3 GMT242，且由 2T 知 T 大，小，故正确选项为 A、C.则T大时，r大，a小，v小，答案 AC 2.(赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是()1 2 3 4A.a1a2rRB.a1a2(Rr)2C.v1v2rRD.v1v2Rr1 2 3 4a121r，a222R，12故a1a2rR，可知选项 A 正确，B 错误.解析 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上物体的质量为m2
12、，近地卫星的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有：1 2 3 4由万有引力定律得，对同步卫星：GMm1r2 m1v21r对近地卫星：GMm2R2m2v22R由以上两式解得：v1v2Rr，可知选项D正确，C错误.答案 AD 3.(人造卫星的变轨问题)2013年12月2日，肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km的圆形工作轨道，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道，
13、然后择机在近月点下降进行软着陆，如图3所示，则下列说法正确的是()1 2 3 4A.“嫦娥三号”在轨道上运动的周期最长 B.“嫦娥三号”在轨道上运动的周期最长 C.“嫦娥三号”经过P点时在轨道上运动的线速度最大 D.“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等 1 2 3 4图31 2 3 4解析 由于“嫦娥三号”在轨道上运动的半长轴大于在轨道上运动的半径，也大于轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TTT，故A正确，B错误；1 2 3 4“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为v
14、vv，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确.答案 AD 1 2 3 44.(双星问题)如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1m232，下列说法中正确的是()A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为32 B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为32 C.m1做圆周运动的半径为 L D.m2做圆周运动的半径为 L 2525图4 1 2 3 4解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为，据万有引力定律和牛顿第二定律得 Gm1m2L2 m1r12m2r22，又 r1r2L，m1m232所以可解得 r125L，r235Lm1、m2运动的线速度分别为v1r1，v2r2，故v1v2r1r223.综上所述，选项C正确.答案 C