1、四川省阆中中学2020届高三数学全景模拟(最后一考)试题 理(含解析)一选择题1. 已知全集,则=()A. B. C. D. 【答案】C【解析】,,故选C点睛:求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知是虚数单位,则()A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】,选D.3. 某路口的红绿灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒,绿灯时间为40秒,假设你在任何时间到达该路口是等可能的,则当你到达该路口时,看见
2、不是黄灯的概率是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】看见黄灯的概率是,则看不见黄灯的概率是,故选A.4. 等比数列的各项均为正数,且,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设公比为,则,由题意得:,所以,选A.5. 已知正方形的边长为6,在边上且,为的中点,则( )A. -6B. 12C. 6D. -12【答案】A【解析】【分析】以向量为基底,将用基底表示,结合向量数量积的运算律,即可求解.【详解】由在边上且,为的中点,.故选:A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算,考查计算求解能力,属于基础题.6. 在如图所示的程序框图中,若函数,则输出的结果是()A.
3、16B. 8C. D. 【答案】A【解析】模拟执行程序框图,可得,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,满足条件,退出循环,输出的值为16选A.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.7. 九章算术是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载,“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如图所示,则剩下部分的体积
4、是 ( )A. 50B. 75C. 25.5D. 37.5【答案】D【解析】【详解】由题意得,根据给定的三视图可知,原几何体是在直三棱柱的基础上,截去一个四棱锥,所得的几何体,所以截去后剩余的几何体的体积为,故选D.8. 已知函数(,)为奇函数,是其图象上两点,若的最小值是1,则=()A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】函数为奇函数,且,是其图象上两点,若的最小值是1,则,则选B.9. 已知点在抛物线:上,过点的直线交抛物线于、两点,若,则直线的倾斜角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知点坐标求出,方程为,代入抛物线方程整理得,设,则,再利用得,结合
5、进来可求得、(只要有一个即可)点坐标,得出直线斜率后即得倾斜角,从而得倾斜角的正弦值【详解】由已知,即抛物线方程为,为抛物线焦点,题中直线斜率显然不为0,设方程为,代入抛物线方程整理得,设,则,由得,所以,即,代入得,时,时,所以或,设直线的倾斜角为,则,或,即或,所以故选:A【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题,解题方法是设出直线方程,设出交点坐标,应用韦达定理,得出,结合已知条件求出交点坐标,然后可得出结论考查了学生的运算求解能力10. 已知函数,其中,若函数的最大值记为,则的最小值为()A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】函数,化简可得:,令,令,开口向下,对称轴,故当时,取得最
6、大值为(当且仅当,即时取等号),故得的最小值为选D11. 三棱锥中,互相垂直,是线段上一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球的表面积是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】是线段上一动点,连接,互相垂直,就是直线与平面所成角,当最短时,即时直线与平面所成角的正切的最大此时,在直角中,三棱锥扩充为长方体,则长方体的对角线长为,三棱锥的外接球的半径为,三棱锥的外接球的表面积为选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系
7、求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直,且,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用求解12. 中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图,是利用算筹表示数19的一种方法例如:3可表示为“”,26可表示为“=”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用19这9个数字表示两位数中,能被3整除的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后,计算哪些能被3整除即可得概率【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表
8、示4和8,5根算筹可以表示5和9,因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个,其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除,所以所求概率故选:D【点睛】本题考查古典概型,考查中国古代数学文化,解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数二、填空题13. 若实数满足,则的最小值是_.【答案】0【解析】【分析】画出满足条件的可行域,令,根据图象求出目标函数的最小值.【详解】画出满足的可行域,如下图所示,设,由图形可得,目标函数过原点时,取得最小值,所以的最小值为0.故答案为:0【点睛】本题考查二元一次不等
9、式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.14. 过定点的直线:与圆:相切于点,则_【答案】4【解析】直线:过定点,的圆心,半径为:3;定点与圆心的距离为:过定点的直线:与圆:相切于点,则点睛:判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系(2)代数法:联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题15. 已知的展开式中各项系数的和为32,则展开式中的系数为_(用数字作答)【答案】120【解析】【详解】由题意,(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的
10、和为32,即2n=32,n=5,那么(2x2+x-y)5=(2x2+x)-y5,通项公式,展开式中含有x5y2,可知r=2那么(2x2+x)3中展开必然有x5,由通项公式,可得,含有x5的项:则t=1,展开式中x5y2的系数为.16. 设公差不为的等差数列的前项和为,若成等比数列,且,则的值是_.【答案】 【解析】【分析】由成等比数列得,再由为等差数列代入等差数列的通项公式可得,再由得,化简可得,从而得或即可求解.【详解】设等差数列公差为,因为成等比数列,所以,所以,解得,又,所以,化简得,因为,所以 或解得 或 (舍去),所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式,需熟记
11、公式,属于中档题.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 在中,分别是内角的对边,且(1)求角的大小;(2)若,且,求的面积【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接根据余弦定理可得角的大小;(2)先根据两角和与差正弦公式化简得,或,再根据正弦定理得,结合条件可解得a,c,最后根据三角形面积公式求面积【详解】(1):,可得:,由余弦定理可得:,(2),可得:,或,当时,可得,可得;当时,由正弦定理知,由余弦定理可得:,解得:,18. 共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚某市有统计数据显示,2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图
12、如图2所示若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列列联表,并根据列联表的独立性检验,判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80合计16040200使用共享单车情况与年龄列
13、联表(2)将(1)中频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量,求的分布列与期望参考数据:独立性检验界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中,【答案】(1)列联表见解析,有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关;(2)分布列见解析,数学期望为【解析】【分析】(1)补全的列联表,利用公式求得,即可得到结论;(2)由(1)的列联表可知,经常使用单车的“非年轻人”的概率,即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率,列出分布列,求解数学期望.【详解】(1)补全的列联表如下:年轻人
14、非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是,即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关(2)由(1)的列联表可知,经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为,即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1,的分布列为01230.7290.2430.0270.001的数学期望【点睛】本题主要考查了列联表,独立性检验,二项分布,二项分布的期望,属于中档题.19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如图,其中,点为线段的中点()试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证明平面,并求出的值,若不存在,请说明理由;()求二
15、面角的正弦值【答案】(1)见解析(2)【解析】【详解】试题分析:(1)因为,所以在同一平面,取的中点,连结,交点即为所求点,因为;(2)根据底面菱形,根据余弦定理求,三边满足勾股定理,所以,平面,所以以建立空间直角坐标系,分别计算平面和平面的法向量,求法向量夹角的余弦值,再求正弦值.试题解析:(1)取的中点,连接交于点,点即为所求的点.证明:连接,是的中点,是的中点,又平面,平面,直线平面.,.(2)由(1)知,又面面,面 面,面,所以面.故.以为空间原点,分别为轴建立空间直角坐标系,为正三角形,.设平面的一个法向量,则由可得令,则.设平面的一个法向量,则由可得令,则.则,设二面角的平面角为,
16、则,二面角的正弦值为.20. 已知点,点是圆:上任意一点,线段的垂直平分线交于点,点的轨迹记为曲线(1)求曲线的方程;(2)过的直线交曲线于不同的,两点,交轴于点,已知,求的值【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质及几何关系,结合椭圆的定义,求得曲线的方程;(2)过的直线斜率为0时,直接求出,可得,斜率不为0时可设为,再联立方程组,运用根与系数的关系,化简向量式并表示出,化简可得.【详解】解:(1)由题意知,故由椭圆定义知,点的轨迹是以点,为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,从而长半轴长为,短半轴长为,曲线的方程为:(2)由题意知,若直线恰好过原点,则,则,则,若直线不
17、过原点,设直线:,则,由,得,从而;由,得,从而;故联立方程组得:整理得,综上所述,【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系,向量共线的坐标表示,椭圆中的定值问题,还考查了设而不解,联立方程组,根与系数的关系等基本技巧,考查了学生的运算能力,属于中档题.21. 函数,(1)若在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,设,试证明存在唯一零点,并求的最大值【答案】(1);(2)证明见解析;最大值为【解析】【分析】(1)求导,由两直线平行可得,可求得的值;(2)对求导,令,对求导得,又,可知得存在,使得,可得证,再由的正负区间得出的单调性,可求得的最大值.【详解】(1),因为在点处的切线与
18、直线平行,所以,;(2)证明:由题意知,于是,令,在上单调递减又,所以存在唯一,使得,综上得存在唯一零点当,于是,在单调递增;当,于是,在单调递减;故,又,故所以的最大值为-6.【点睛】本题考查运用导函数求得函数的切线,研究函数的零点,函数的最值问题,关键在于得出函数的导函数的正负区间,得出函数的单调性,属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22. 在平面直角坐标系中,曲线:的参数方程是,(为参数). 以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程;(2)若射线的极坐标方程,且分别交曲线、
19、于,两点,求.【答案】(1):,:;(2).【解析】试题分析:(1)首先写出的直角坐标方程,再根据互化公式写出极坐标方程,和的直角坐标方程,互化公式为 ;(2)根据图象分析出 .试题解析:(1)将参数方程化为普通方程为,即,的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.(2)将代入 整理得,解得,即.曲线是圆心在原点,半径为1的圆,射线 与相交,即,即.故.23. 已知函数,(1)时,解不等式;(2)若对任意都有,使得成立,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)将代入方程,利用分类讨论的方法去掉绝对值求解;(2)利用绝对值的三角不等式,分别求出和的值域,结合题意分析即可求解.【详解】解:(1)时,当时,由解得,综合得,当时,显然不成立,当时,由解得,综合得,所以的解集是(2),根据题意,解得或故取值范围为【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法,绝对值的三角不等式,恒成立问题,考查了计算化简,分析求值的能力,属中档题.