1、第11节 函数与方程考纲呈现 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数.诊断型微题组 课前预习诊断双基1函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与有交点函数 yf(x)有 f(x)0 x 轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有.那么，函数 yf(x)在区间内有零点，即存在 c(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)0 的根 f(a)(
2、f)b0(a，b)f(c)0c2二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 3.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 1函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)0 的根，也是函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的
3、零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数 f(x)ax2bxc(a0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件为 ac0.()(4)当 x0 时，函数 y2x 与 yx2 的图象有两个交点()2(2015 安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21【答案】A【解析】ysin x 是奇函数；yln x 是非奇非偶函数；yx21是偶函数但没有零点；只有 ycos x 是偶函数又有零点故选 A.3若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,
4、16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，则下列命题中正确的是()A函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C函数 f(x)在区间2,16)内无零点 D函数 f(x)在区间(1,16)内无零点【答案】C【解析】由题意可知，函数 f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在2,16)内故选 C.4(教材习题改编)已知函数 f(x)6xlog2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)【答案】C【解析】由题意知，函数 f(x)在(0，)内为减函数，又 f(1)6log2160，f(2)
5、3log2220，f(4)64log24322120，由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2,4)内必存在零点，故选 C.形成型微题组 归纳演绎形成方法 函数零点所在区间的判断 1(2018 河北衡水模拟)已知函数 f(x)ln x12x2 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】C【解析】f(x)ln x12x2 在(0，)内是增函数，f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 2120ln 210.故 f(x)的零点 x0(2,3)2(2018 江西南昌模拟)设 x0 是方程 ln xx4 的解，则 x0 属于()A(
6、0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】C【解析】设 f(x)ln xx4.f(2)ln 220，x0(2,3)故选 C.微技探究 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法 1.(2019 四川成都新津中学模拟)函数 f(x)ln x2x的零点所在的大致区间是()A1e，1B(1,2)C(2,3)D(e，)【答案】C【解析】函数 f(x)ln x2x，f(2)ln 210，f(3)ln 3230，故有 f(2)f(3)0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为(2,3)，故选 C.2.(2018 海南高三模拟)函数 y12ln xx
7、1x2 的零点所在的区间为()A1e，1B(1,2)C(2，e)D(e,3)【答案】C【解析】由题意，求函数 y12ln xx1x2 的零点，即为求两个函数 y112ln x 和 y2x1x2 的交点，可知 y112ln x 为增函数，而 y2x1x2 为减函数，故交点只有一个，当 x2 时，12ln xx1x2.因此函数 y12ln xx1x2 的零点在(2，e)内，故选 C.函数零点个数的判断 1(2018 山东烟台模拟)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A1B2C3D4【答案】B【解析】令 f(x)2x|log0,5x|10，得|log0.5x|12x.设 g(x)
8、|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象(如图)由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有 2 个零点 2(2018 北京朝阳期末)已知符号函数 sgn(x)1，x0，0，x0，1，x0，则下列关于函数 yff(kx)11(k0)的零点个数的判断正确的是()A当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点 B当 k0 时，有 4 个零点；当 k0 时，有 3 个零点C无论 k 为何值，均有 3 个零点 D无论 k 为何值，均有 4 个零点【答案】C【解析】令 ff(kx)110 得，fkx10，efkx1210，或 fkx1
9、0，lnfkx110，解得 f(kx)10 或 f(kx)11e.由 f(kx)10 得，kx0，ekx210，或kx0，lnkx1，即 x0 或 kx1e；由 f(kx)11e得，kx0，ekx211e，或kx0，lnkx11e，即 ekx11e(无解)，或 kxe1e1.综上所述，x0 或 kx1e或 kxe1e1.故无论 k 为何值，均有 3 个解故选 C.2.(2018 东北师大附中模拟)若函数 f(x)x22a|x|4a23 有三个不同的零点，则函数 g(x)f(x)f(|a|a1)的零点个数是_【答案】4【解析】对于函数 f(x)x22a|x|4a23，f(x)f(x)，f(x)为
10、偶函数，yf(x)的图象关于 y 轴对称，f(0)4a230，解得：a 32，又由 x0 时，f(x)x22ax4a23，其对称轴为 xa，若函数 f(x)x22a|x|4a23 有三个不同的零点，必有 xa0，故 a 32，f(x)x2 3|x|，图象如图所示：f(x)的最小值是 f 32 341 3f(|a|a1)，故函数 g(x)f(x)f(|a|a1)的零点个数是 4，故答案为 4.函数零点的应用 1(2018 贵州贵阳一中检测)已知函数 f(x)exa，x0，3x1，x0(aR)，若函数 f(x)在 R 内有两个零点，则 a 的取值范围是()A(，1)B(，0)C(1,0)D1,0)
11、【答案】D【解析】当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x13.因此当 x0 时，f(x)exa0 只有一个实根，aex(x0)，根据指数函数的图象知1a0，x22x1，x0，若函数 g(x)f(x)2m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是_【答案】1，12 【解析】函数 g(x)f(x)2m 有三个零点，等价于方程 f(x)2m0 有三个根，即 f(x)2m 有三个根，再转化为函数 yf(x)与函数y2m的图象有三个不同的交点，作出函数yf(x)的图象可知当12m2，即12，函数 g(x)3f(2x)，则函数 yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3C4D5【答案】A【解析】f(2
12、x)2|2x|，x0，x2，x0，从而 g(x)1|2x|，x0，3x2，x0.函数 yf(x)g(x)的零点个数，即为函数 f(x)与 g(x)图象交点的个数，作出两函数图象如图所示，由数形结合可知两函数图象有 2 个交点，故选 A.3(2018 浙江，15)已知 R，函数 f(x)x4，x，x24x3，x.当 2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_【答案】(1,4)(1,3(4，)【解析】(1)当 2 时，f(x)x4，x2，x24x3，x2，其图象如图(1)由图知 f(x)0 的解集为(1,4)(1)(2)(2)f(x)x4，x，x24x3，xm，其中m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m的取值范围是_【答案】(3，)【解析】作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm20.又 m0，解得 m3.