1、2.1 函数及其表示 考纲要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用 1函数与映射 函数 映射 两集合A、B 设A，B是两个非空_ 设A，B是两个非空_ 数集集合对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称_为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：AB为从
2、集合A到集合B的一个映射 记法 yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射 任意任意f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域 在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的_；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的_(2)函数的三要素：_、_和_(3)函数的表示法 表示函数的常用方法有_、_和_ 定义域值域定义域对应关系值域解析法图象法列表法3分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 对应
3、关系并集并集4常见函数定义域的求法【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请 在 括 号 中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)1(2017重庆巴蜀中学期中)函数 f(x)x21ln（3x）的定义域为()A2，3)B(2，3)C2，)D(，3【解析】由题意知，函数f(x)的定义域应满足条件x20，ln(3x)0且3x0，解得x2，x2且x3，
4、所以函数f(x)的定义域为(2，3)故选B.【答案】B 2(2017山东省实验中学二诊)若 f(x)1log12（2x1），则 f(x)的定义域为()A.12，0B.12，C.12，0(0，)D.12，2【答案】C【解析】由题意知，f(x)的定义域需满足 log12(2x1)0 且2x10，解得 x0 且 x12，即函数 f(x)的定义域为12，0(0，)故选 C.3(2016课标全国)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10lg x 的定义域和值域相同的是()AyxBylg xCy2xDy 1x【解析】y10lg xx(x0)，其定义域为(0，)，值域为(0，)yx与y2x这两个函数的定
5、义域为R，显然与已知函数不同，排除A，C选项ylg x的值域为R，排除B选项经验证D选项符合，故选D.【答案】D【解析】f(5)f(11)log331.故选C.【答案】C 4 (2017 贵 州 遵 义 航 天 高 中 七 模)设f(x)log3（x8），x9，f（x6），x9，则 f(5)的值为()A1 B0C1 D25给出下列四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是函数；函数y2x(xN)的图象是一条直线；函数的定义域和值域一定是无限集合 其中真命题的序号有_【解析】对于函数是映射，但映射不一定是函数；对于f(x)是定义域为2，值域为0的函数；对于函数y2x(xN)的图象不是一条直
6、线；对于函数的定义域和值域不一定是无限集合【答案】题型一 函数的概念【例 1】有以下判断：f(x)|x|x 与 g(x)1 （x0）1（x0）表示同一函数；函数 yf(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 ff12 0.其中正确判断的序号是_【解析】对于，由于函数 f(x)|x|x 的定义域为x|xR 且x0，而函数 g(x)1 （x0）1（x0）的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于，若 x1 不是 yf(x)定义域内的值，则直线 x1 与 yf(x)的图象没有交点，如果 x1 是 yf(x)定
7、义域内的值，由函数定义可知，直线 x1 与 yf(x)的图象只有一个交点，即 yf(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点；对于，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于，由于 f12 121 12 0，所以 ff12 f(0)1.综上可知，正确的判断是.【答案】【方法规律】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)跟踪训练 1(
8、1)下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1 与 y（x1）2By x1与 y x1x1Cy4lg x 与 y2lg x2Dylg x2 与 ylg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为()A1 B2 C3D4【解析】(1)A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.(2)中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.【答案】(1)D(2)B 题型二 函数的定义域命题点 1 求给定函数解析式的定义域【例 2】(1)(2017杭州模拟)函数 f(x)12
9、x1x3的定义域为()A(3，0B(3，1C(，3)(3，0D(，3)(3，1(2)(2017淄博模拟)函数 f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是()A.13，B.13，1C.13，13D.，13【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由题意知12x0，x30，解得3x0，所以函数f(x)的定义域为(3，0，故选 A.(2)要使函数有意义，需满足3x101x0，得13x1，故选B.命题点 2 求抽象函数的定义域【例 3】(1)若函数 yf(x)的定义域是1，2 016，则函数 g(x)f（x1）x1的定义域是()A0，2 015 B0，1)(1，2 015C(1，2 016 D1，1)(1
10、，2 015(2)若函数f(x21)的定义域为1，1，则f(lg x)的定义域为()A1，1B1，2 C10，100D0，lg 2【解析】(1)令 tx1，则由已知函数的定义域为1，2 016，可知 1t2 016.要使函数 f(x1)有意义，则有 1x12 016，解得 0 x2 015，故函数 f(x1)的定义域为0，2 015 所以使函数 g(x)有意义的条件是0 x2 015，x10，解得 0 x1或 1x2 015.故函数 g(x)的定义域为0，1)(1，2 015故选B.(2)因为f(x21)的定义域为1，1，则1x1，故0 x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lg x)
11、是同一个对应关系，所以1lg x2，即10 x100，所以函数f(lgx)的定义域为10，100故选C.【答案】(1)B(2)C【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.【答案】1，0 命题点 3 已知定义域求参数范围【例 4】(2017合肥模拟)若函数 f(x)2x22axa1的定义域为 R，则 a 的取值范围为_【方法规律】(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解
12、集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式(2)若f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域为ag(x)b的解集；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为yg(x)在a，b上的值域 跟踪训练 2(1)(2016江苏)函数 y32xx2的定义域是_(2)(2017福建三明一中第二次考试)若函数 f(2x)的定义域是1，1，则函数 f(2x1)f(2x1)的定义域是_【解析】(1)要使函数 y 32xx2有意义，则 32xx20，解得3x1，则函数 y 32xx2的定义域是3，1(2)因为函数 f(2x)的定义域是1，1，所以22x2，所以函数 f(x)的定义域
13、为2，2，所以 f(2x1)f(2x1)的定义域应满足的条件为22x12 且22x12，即12x32且32x12，所以12x12，所以函数 f(2x1)f(2x1)的定义域是12，12.【答案】(1)3，1(2)12，12题型三 求函数解析式【例 5】(1)已知 f2x1 lg x，则 f(x)_(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f1x x1，则 f(x)_【解析】(1)(换元法)令 t2x1(t1)，则 x 2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)(2)(待定
14、系数法)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b ax5ab，即 ax5ab2x17 不论 x 为何值都成立，a2，b5a17，解得a2，b7，f(x)2x7.(3)(消去法)在 f(x)2f1xx1 中，用1x代替 x，得 f1x 2f(x)1x1，将 f1x 2f（x）x1 代入 f(x)2f1xx1 中，可求得 f(x)23 x13.【答案】(1)lg 2x1(x1)(2)2x7(3)23 x13【方法规律】函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式
15、，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知 f(x)与 f1x 或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)跟踪训练 3(1)已知 f(x1)x2 x，则 f(x)_(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_(3)(2017浙江评估测试)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x，y，都有 f(xy)
16、f(x)y(y2x1)，且 f(1)3，则函数 f(x)的解析式为_【解析】(1)设 x1t(t1)，则 xt1.代入 f(x1)x2 x，得 f(t)t21(t1)，f(x)x21(x1)(2)当1x0 时，0 x11，由已知 f(x)12f(x1)12x(x1)(3)令 x0，yx，得 f(x)f(0)x2x.将 x1 代入上式，得 f(0)f(1)21，从而有 f(x)x2x1.【答案】(1)x21(x1)(2)12x(x1)(3)f(x)x2x1思想与方法系列 2分类讨论思想在函数中的应用【典 例】(1)(2016 河 南 信 阳 第 八 次 大 考)函 数 f(x)log2x，x0，
17、x24x1，x0，若实数 a 满足 f(f(a)1，则实数 a 的所有取值的和为()A1 B.1716 5C1516 5D2(2)(2015山东)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B0，1C.23，D1，)【解析】(1)令 tf(a)，则 f(t)1，当 t0 时，由 f(t)log2t1 得 t2；当 t0 时，由 f(t)t24t11 得 t0 或 t4，所以 f(a)2 或 f(a)0 或 f(a)4；若 f(a)2，当 a0 时，f(a)log2a2，此时 a4；当 a0时，f(a)a24a12，此时 a2 5(
18、a2 5舍去)；若 f(a)0，当 a0 时，f(a)log2a0，此时 a1；当 a0 时，f(a)a24a10，此时 a2 3或 a2 3；若 f(a)4，当 a0 时，f(a)log2a4，此时 a 116；当a0 时，f(a)a24a14，此时方程无解 所以 a 所有可能取值为 4，2 5，1，2 3，2 3，116，其和为1516 5.故选 C.(2)由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a1.当 a1 时，有 2a1，a0，a1.综上，a23，故选 C.【答案】(1)C(2)C【温馨提醒】(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，
19、然后选定相应关系式代入求解(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.方法与技巧 1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同 2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行 3函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法 4分段函数问题要分段求解 失误与防范 1复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混 2分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.