1、 类型1函数图象的应用【例1】已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)x.求x3,5时，f(x)的所有解的和解当x1,0时，x0,1，f(x)x.又f(x)为奇函数，x1,0时，f(x)f(x)x.即x1,1时，f(x)x.又由f(x)f(2x)可得f(x)的图象关于直线x1对称由此可得f(x)在3,5上的图象如下：在同一坐标系内画出y的图象，由图可知在3,5上共有四个交点，f(x)在3,5上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x1对称，1，1.x1x2x3x44.画函数图象是表示函数的一种方法，一旦有了函数图象
2、，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果1已知函数f(x)|x2mx3|，且f0.(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(3)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解(1)由f0，得0，解得m4.f(x)作出图象如图所示(2)递增区间为1,2和3，)，递减区间为(，1)和(2,3)(3)由图象可知，yf(x)与y m图象，有四个不同的交点，则0m1，集合Mm|0m1 类型2函数性质的应用【例2】已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)2.解(1)证明：由f(x)f(y)f(xy)，可得f(xy)f(x
3、)f(y)在R上任取x1x2，令xyx1，xx2，则f(x1)f(x2)f(x1x2)x1x2，x1x20.又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)2，即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)，由(1)知f(x)在R上为减函数，f(x)f(3x)，得x3x，解得解集为.(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值(2)研究与抽象函数有关的问题时要紧扣其定义，通过赋值来求解2函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值
4、；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，则f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范
5、围是x|15xx，求x的取值范围解x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数yx，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x1.数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然3已知函数f(x)x23x4的定义域为，值域为，则m的取值范围是_f(x)x23x42，f ，又f(0)4，故由二次函数图象可知 ，解得m3.所以m的取值范围为.分类讨论思想【例4】设函数f(x)x22x，x，若函数的最小值为g(a)，试求g.思路点拨由于a与1的大小关系不确定，所以应分2a1与a
6、1两种情况考虑解f(x)x22x(x1)21，对称轴为直线x1.而1不一定属于区间，应进行讨论当2a1时，f(x)在区间上单调递减，则g(a)f(a)a22a；当a1时，f(x)在区间上单调递减，在1，a上单调递增，则g(a)f(1)1.综上，g(a) .考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据与1的大小关系去分类用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏4在例4中，求该函数的最大值h(a).解f(x)x22x21，对称轴为直线x1.而1不一定属于区间，应进行讨论当2a4时，h(a)f(2)8；当a4时，h(a)f(a)a22a.综上，h(a) .转化的数学思想【例5】若函数f(x
7、)x2mxn，对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小解依题意可知f(x)的对称轴为x2，f(1)f(5)f(x)在2，)上是增函数，f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1)通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题5指出函数f(x)的单调区间，并比较f()与f 的大小解因为f(x)11(x2)2，所以其图象可由幂函数yx2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示所以f(x)在(2，)上是减函数，在(，2)上是增函数，且图象关于直线x2对称因为2()2，(2)2，又2f .1(20
8、13大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1)BC(1,0)DB由已知得12x10，解得1x，函数f(2x1)的定义域为，选B.2(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12法一：令x0，则x0，f(x)2x3x2.又f(x)f(x)，f(x)2x3x2(x0)，f(2)2232212.法二：f(x)为奇函数，f(2)f(2)2(2)3(2)212.3(2014全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()Af(x)g
9、(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数C由题知，f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于A，f(x)g(x)f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数对于B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，故|f(x)|g(x)是偶函数对于C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，故f(x)|g(x)|是奇函数对于D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，故|f(x)g(x)|是偶函数4(2017山东文)设f(x)若f(a)f(a1)，则f ()A2B4C6D8C若0a1.由f(a)f(a1)知，2(a11)a，f f(4)2(41)6，若a1，则a12，由f(a)f(a1)得2(a1)2(a11)，无解综上，f 6.故选C.
