1、第60节 证明不等式的基本方法考纲呈现 了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能应用它们证明一些简单的不等式.诊断型微题组 课前预习诊断双基1证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2三个正数的算术：几何平均不等式(1)定理：如果a，b，cR，那么abc3 3 abc，当且仅当时，等号成立，即三个正数的算术平方 不小于它们的几何平均 .(2)基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均它们的几何平均，即a1a2ann a1a2an，当且仅当时，等号成立 abcabc33 abc不小于a1a2an3柯西不等式(1)设 a，b，c
2、，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立(2)若 ai，bi(iN*)为实数，则(i1na2i)(i1nb2i)(i1naibi)2，当且仅当b1a1b2a2bnan(当 ai0 时，约定 bi0，i1,2,3，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当，共线时等号成立 1作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系 2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立 3
3、利用柯西不等式、均值不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”吋，假设为“a，b，c全不为 0”.()(2)若x2yxy 1，则 x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数 x，y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0.()2不等式：x233x；a2b22(ab1)；baab2，其中恒成立的是()A B C D【答案】D【解析】由得 x233x322340，所以 x233x；对于，因为 a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，所以不等式成立；对于，因为当 ab0 时，
4、baab2ab2ab0，即baab2，故选 D.3已知 a，b，c 是正实数，且 abc1，则1a1b1c的最小值为_【答案】9【解析】abc1，则1a1b1cabcaabcbabcc1baca1abcb1acbc3baab caac cbbc 32229，当且仅当 abc13时取等号，故1a1b1c的最小值为 9.4若 a，b，c(0，)，且 abc1，则 a b c的最大值为_【答案】3【解析】(a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(abc)3，当且仅当 abc13时，等号成立(a b c)23.故答案为：3.形成型微题组 归纳演绎形成方法 综合法证明不等式(2018 湖
5、南郴州三模)已知 a0，b0，ab1，求证：(1)1a1b 1ab8；(2)11a 11b 9.【证明】(1)ab1，a0，b0，1a1b 1ab1a1babab 21a1b 2aba abb2baab 44baab48.1a1b 1ab8(当且仅当 ab12时等号成立)(2)11a 11b 1a1b 1ab1，由(1)知1a1b 1ab8，11a 11b 9.微技探究 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要首先分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的，在运用
6、这些性质时，要注意性质成立的前提条件 (2019 重庆适应性测试)设 a，b，cR且 abc1.(1)求证：2abbccac2212；(2)求证：a2c2bb2a2cc2b2a2.【证明】(1)因为 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，所以 2abbccac2212(4ab2bc2cac2)12.当且仅当 ab时等号成立(2)因为a2c2b2acb，b2a2c2abc，c2b2a2bca，所以a2c2bb2a2cc2b2aacb abc abc bca acb bca acbbc bacca cabba 2a2b2c2.(当且仅当 abc13时等号成立)分析法证
7、明不等式(2018 广西北海模拟)设 a，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc 3；(2)abcbaccab 3(a b c)由于 a，b，c0，因此要证 abc 3，只需证明(abc)23，即证 a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证 a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)证得 原不等式成立(2)abcbaccababcabc.由于(1)中已证 abc 3.因此要证原不等式成立，只需证明 1abc a b c.即证
8、a bcb acc ab1，即证 a bcb acc ababbcca.而 a bc abacabac2，b acabbc2，c abbcac2.a bcb acc ababbcca(abc 33 时等号成立)原不等式成立 微技探究 分析法证明不等式的思路 用分析法证明不等式时，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”分析法与综合法常常结合起使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程 (2018 湖北宜昌一中月考)已知
9、函数 f(x)|x1|.(1)解不等式 f(x1)f(x3)6；(2)若|a|1，|b|1，且 a0，求证：f(ab)|a|fba.【解】由题意，知原不等式等价为|x2|x2|6，令 g(x)|x2|x2|，则 g(x)2x，x2，4，2x0，b0，且 ab1a1b.证明：(1)ab2；(2)a2a2 与 b2b0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【证明】(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因 为(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab(a b)2 3ab24(ab)23ab34，所以(ab)38，因此 ab2.