1、集合与函数课时提升训练（11）1、对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数 （1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值2、函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称若实数满足不等式的取值范围是 A B C D 3、已知函数，过点P（0，m）作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值范围为 7、已知集合,有下列命题若则；若则；若则的图象关于原点对称；若则对于任意不等
2、的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是 8、对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时， ；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，则在此定义下， 集合NN中元素的个数是 . 10、对于任意实数表示不超过的最大整数，例如：，。那么 11、设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为 12、已知函数满足，且是偶函数， 当时，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 。 15、若，则定义为曲线的线已知，则的线为16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：； ，其中是一阶整点函数的是(
3、 )A. B. C. D. 20、函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 26、已知函数，则（ ） A8 B9 C11 D1028、已知集合=1,2,3， =1,2,3,4，5，定义函数.若点A(1,(1)、B(2,)、C(3,)，ABC的外接圆圆心为，且,则满足条件的函数有( ) A.15个 B.20个 C. 25个 D. 30个29、.已知函数，在定义域-2，2上表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为有以下命题：是奇函数；若在内递减，则的最大值为4；的最大值为，最小值为，则； 若对，恒成立，则的最大值为2其中正确命题的个数为 A .1个 B. 2个 C .
4、3个 D. 4个 32、若函数满足,当时,若在区间上,有两个零点,则实数的取值范围是（ ）A B C D 33、若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中（ ）A只有一个小于1 B至少有一个小于1C都小于1 D可能都大于1 34、若实数满足，则称是函数的一个次不动点设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则A B C D 35、方程的解的个数为 （ ） A0 B1 C2 D3 37、(本大题满分13分)若存在常数k和b (k、bR)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”已知， (其中e为自然对数的底数)(1)求的极值；(2)函数和是否
5、存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由38、.(本小题满分13分)已知常数a为正实数，曲线Cn：y在其上一点Pn(xn，yn)的切线ln总经过定点(a,0)(nN*).(1)求证：点列：P1，P2，Pn在同一直线上；(2)求证： (nN*).39、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.()讨论函数的单调性；()设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.40、已知函数和其中（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程
6、的两根，且满足，证明：当时，1、解：（1）对于函数，当时，当或时，恒成立，故是“平底型”函数 对于函数，当时，；当时，所以不存在闭区间，使当时，恒成立故不是“平底型”函数 （）若对一切R恒成立，则所以又，则 则，解得故实数的范围是 （）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立所以恒成立，即解得或 当时，当时，当时恒成立此时，是区间上的“平底型”函数 当时，当时，当时，此时，不是区间上的“平底型”函数 综上分析，m1，n1为所求2、B 3、 7、 8、 10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、D 28、B29、B 32、D33、 分析：因为有两个零点，
7、所以，故与中至少有1个小于134、B 35、C 37、(1)解：，当时，当时，此时函数递减；当时，此时函数递增；当时，F(x)取极小值，其极小值为0 (2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即 由，可得当时恒成立由得下面证明当时恒成立令，则， 当时，当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为0从而，即恒成立函数和存在唯一的隔离直线 38、.证法一：(1)f(x)，f(x)(nx).(1分)Cn：y在点Pn(xn，yn)处的切线ln的斜率knf(xn)，ln的方程为yyn(xxn).(
8、2分)ln经过点(a,0)，yn(axn)(axn).又Pn在曲线Cn上，yn(axn)，xna，yn，Pn(a，)总在直线xa上，即P1，P2，Pn在同一直线xa上.(4分)(2)由(1)可知yn，f(i).(5分)0(x(0,1)，F(x)在0,1上为增函数，即当0xF(0)0，故当0xln(x1)恒成立.(11分)取x(i1,2,3，n)，f(i)ln(1)ln(i1)lni，即f(1)ln2，f(2)ln(1)ln3ln2，f(n)ln(n1)lnn， 综上所述有 (nN*).(13分)证法二：(1)设切线ln的斜率为kn，由切线过点(a,0)得切线方程为ykn(xa)，则方程组的解为
9、.(1分)由方程组用代入法消去y化简得kx2(2akn)xka20，(*)有(2akn)24kka24ankn20，k.(2分)代入方程(*)，得x2(2an)xa20，即x22axa20，xa，即有xna，yn，即P1，P2，Pn在同一直线xa上.(4分)(2)先证：0xxln(x1)，以下类似给分. 39、（本小题满分14分）解：（1），当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数当时，函数是区间上的增函数当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.7分（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，因此：恒成立，即恒成立，由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，当时，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”. 40、解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），点（，0）也在函数的图像上，而，（2）由题意可知当时，, 即：当时，即又,当时，0,综上可知，