1、学案6 指数与指数函数 填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点1考点2考点3 考点4 返回目录考 纲 解 读(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的含义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.指数函数2131返回目录1.对指数幂运算的考查虽然鲜见单独命题，但是在考查指数函数时总有幂的运算，是学生基本运算能力的重要体现，是历年高考的内容.对于该部分内容的复习,要注意算法的优化,保证考试中运算迅速准确.2.对
2、指数函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算,考查函数的图象、性质以及灵活运用函数性质进行大小比较,方程、不等式求解等.有时还需要利用指数函数的基本性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质.要熟练掌握指数幂的运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.考 向 预 测 返回目录1.根式和正数的分数指数幂(1)=(a0,m,nN+,且为既约分数).(2)=(a0,m,nN+,且为既约分数).(3)0的任何次方根都是,即=0.(4)=(nN+).(5)当n为奇数时，=;当n为偶数时，=.nmanmnm-anmnn)a()a(nn)a(nnmn)a(nmanma10 n 0a a|
3、a|返回目录2.有理指数幂的运算性质(1)aras=(a0,r,sQ).(2)(ar)s=(a0,r,sQ).(3)(ab)r=(a0,b0,rQ).(4)aras=(a0,r,sQ).3.指数函数一般地,函数y=ax(a0,a1,xR)叫做，其中x是自变量.ar+s arsarbr ar-s 指数函数4.指数函数的图象和性质y1 函数 y=ax(a0,a1)图象 图象特征 在x轴 ,过定点 .当x逐渐增大时,当x逐渐增大时,定义域:值域:性质 单调性 函数值变化规律 值域:当x=0时 ,当x0时,.当x0时,.返回目录上方(0,1)y逐渐减小y逐渐增大R (0,+)减函数增函数y=1 y1
4、0y1 0y1 0a1返回目录2.有理指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是=(a0,m,nN*,且n1).正数的负分数指数幂是0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.2)有理指数幂的运算性质:aras=(a0,r,sQ).(ar)s=(a0,r,sQ).(ab)r=(a0,b0,rQ).nmanmanmanma1=(a0,m,nN*,且n1).nma10sra arsrbra3.指数函数的图象与性质返回目录a10a0时,;当x0时,;当x1 0y1 0y1 增函数减函数返回目录考点1 指数幂的化简与求值化简下列各式(其中各字母均为正数):48373271021.0972(3
5、)032221.)b(4a)b(-3aba65(2);abba)b(a(1)213-32-1212-3165312121-132(1)原式=(2)原式=返回目录2323212331361213323614abab5ab145ba45)b(aba45)b(4aba25【分析】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂、先化为分数指数幂以便用法则运算；（2）（3）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，若符合用法则进行下去，若不符合应再创设条件去求.a1bababababab)ba(653121612131656131212131652121132返回目录(3)原式=100483
6、73169100354837327641.0192532221(1)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.(2)对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.返回目录;ba1.04ab41(2);1)-2(-972)71(-.027)0(1)(213323-121-021231-化简下列各式:返回目录【解析】(1)原式=(2)原式=451354931019257111000272122
7、31254ba254bbaa1004400232323232321返回目录考点2 指数函数的图象已知函数（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当x取什么值时有最值.【分析】先去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再画出其图象，然后根据图象判断其单调性、最值.y|2x|)21(【解析】（1）由函数解析式可得(x-2)(x-2),其图象分成两部分:一部分是y=(x-2)的图象，由下列变换可得到:y=y=;返回目录2)2(2)21()21(xx|2x|y)2()21(xx)21()2()21(x向左平移2个单位名师伴你行另一部分是y=2x+2(x-2)的图象，由下列变换可得
8、到:y=2x y=2x+2,如图,实线部分为函数的图象.(2)由图象观察知,函数在(-,-2上 是增函数，在(-2,+)上是减函数.(3)由图象观察知,当 x=-2时，函数有最大值，最大值为1，没有最小值.返回目录向左平移2个单位|2x|y)21(|2x|y)21(返回目录（1）根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平移、伸缩、对称）作图是作函数图象的常用方法.(2)本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而是直接用图象变换作出，作法如下:x)21(y保留x0部分，将它沿y轴翻折得x0的部分x)21(y向左平移2个单位.)21(2xy返回目录画出函数y=2|x-1|的图象，并根据图象指出此函数的一些重
9、要性质.2x-1,x1,x1.其图象由两部分对接而成，一是把y=2x向右平移1个单位后取x 1的部分；二是把y=的图象向右平移1个单位后取x1的部分，对接处的公共点是(1,1),图象如图，作法略.y=2|x-1|=1)21(xx)21(返回目录【解析】由图象可知,函数有三个重要性质:单调性:在(-,1在1,+)上单调递增;对称性:函数 图象关于直线x=1对称;函数定义域为R,值域为 1,+).上 单 调 递 减，考点3 指数函数的性质已知f(x)=(a0且a1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x-1,1时,f(x)b恒成立,求b的取值范围.【分析】(1)首先看
10、函数的定义域而后用奇偶性定义判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解决;(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值.返回目录)aa(1aaxx2返回目录【解析】(1)函数定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.(2)当a1时,a2-10,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,f(x)为增函数.当0a1时,a2-10,且a1时,f(x)在定义域内单调递增.)aa(1aaxx2返回目录(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,在区间-1,1上为增函数.f(-1)f(x)f(1).f(x)min=f(-1)=要使f(x)b在
11、-1,1上恒成立,则只需b-1.故b的取值范围是(-,-1.1aa11aa)aa(1aa2212返回目录1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法:(1)函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=a f(x)的值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤:(1)求复合函数的定义域;(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的;(3)分层逐一求解函数的单调性;(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).返回目录若函数y=为奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域;(4)讨论函
12、数的单调性.12a12axx返回目录【解析】函数y=,y=.(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0,即=0,=0,a=-.(2)y=,2x-10,即x0.函数y=的定义域为x|x0.121ax 12a12axx121a121axxxx2121a22112121x 12121x 返回目录(3)解法一：x0,2x-1-1.2x-10,02x-1-1或2x-10.或,即函数的值域为yy 或y0,0.可得y 或y 或y0时,设0 x1x2,则y1-y2=.0 x1x2,1 .0,0.y1-y2x1,则f(x2)-f(x1)当x2x1时,0.又0,0,故当x2x1时,f(x2)-f(x1)0
13、,即f(x2)f(x1),f(x)是增函数.1102111011010101010222xxxxxxx)110)(110(10102)11021()11021(121212222222xxxxxx12221010 xx 11012x11022x返回目录证法二:考虑复合函数的增减性.f(x)=y1=10 x为增函数,y2=102x+1为增函数,y3=为减函数,y4=-为增函数,f(x)=为增函数.f(x)=在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=,解得102x=,102x0,-1y1.即f(x)的值域为(-1,1).11021101010102 xxxxx11022 x11022 x11
14、0212 xxxxx10101010 xxxx10101010yy11记住下列函数的增减性,对解(证)题是十分有用的:(1)若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;(2)若f(x)为增(减)函数,则f(x)+k 为增(减)函数;(3)若f(x),g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数.返回目录已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时,f(x)=.(1)求f(x)在-1,1上的解析式;(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.【解析】(1)当x(-1,0)时,-x(0,1).f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=由f(0)=f(-0)=-f(
15、0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.142xx.142142xxxx返回目录返回目录,x(0,1),x(-1,0)0,x-1,0,1.(2)证明:当x(0,1)时,f(x)=.设0 x1x21,则f(x1)-f(x2)=0 x1x20.-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,1)上单调递减.在区间-1,1上,有f(x)=142xx142xx142xx.)14)(14()12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx22x22x212xx 1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线.当0a1时,x-,y0;当a1时,a的值 越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快;当0a0,且a1)的图象和性质受a 的影响,要分a1与0a1来研究.5.对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0(0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.返回目录
