1、45.2用二分法求方程的近似解新课程标准解读核心素养1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图数学抽象2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解数学运算3.了解用二分法求方程近似解具有一般性数学运算、逻辑推理电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”参赛者又猜50元，主持人说“低了”参赛者再猜80元，主持人说“低了”这样一直猜下去，直到猜中为止问题(1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？知识点一二分法条件(1)函数yf(x)的图
2、象在区间a，b上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)f(b)B|x1x2|Cx1x2 Dx2x1答案：B2用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案：(0，0.5)f(0.25)二分法概念的理解例1(链接教科书第155页习题1题)(1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是()(2)用二分法求方程2x3x70在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_解析(1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.(2)设f(x)2x3x7，
3、f(1)2370，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1，2)，方程2x3x70有根的区间是(1，2)答案(1)D(2)(1，2)二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 跟踪训练在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是2，4，则第三次所取的区间可能是()A1，4B2，1C. D.解析：选D第一次所取的区间是2，4，第二次所取的区间可能为2，1，1，4，第三次所取的区间可能为，.用二分法求方程的近似解例2(链接教科书第14
4、6页例2)用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x33x3在(0，1)内有解取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5，1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0，1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5，1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5，0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)
5、0f(0.687 5)0(0.687 5，0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解母题探究(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x0.718 75，因为f(0.718 75)0，f(0.75)0且|0.718 750.75|0.031 250.05，所以x0.72可作为方程的一个近似解用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)；(
6、2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值 跟踪训练用二分法求2xx4在1，2内的近似解(精确度为0.2)参考数据如下表：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)2xx4，则f(1)21410.用二分法逐次计算，列表如下：区间精确度区间中点值xnf(xn)的值及符号(1，2)|21|1x11.5f(x1)0.330(1，1.5)|1.51|0.5x21.25f(x2)0.37
7、0(1.25，1.5)|1.51.25|0.25x31.375f(x3)0.0350|1.3751.5|0.1250.2，2xx4在1，2内的近似解可取为1.375.二分法实际应用举例乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同用一架天平
8、，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重问题探究1当a12，b3时，又该如何称？2若“坏乒乓球偏轻”，当a26时，又该如何称？提示：1.第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”(2)
9、若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边看天平，有三种可能若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重2将26枚乒乓球平均分成两份，分
10、别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”迁移应用将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某
11、接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？解：如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端假设此时左端断路，则检查17号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第
12、3号接点，到此检查完毕1下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31Bf(x)ln x3Cf(x)x22x2 Df(x)x24x1解析：选C因为f(x)x22x2(x)20，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点2用二分法求如图所示的图象对应的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1 Bx2Cx3 Dx4解析：选C能用二分法求在a，b内的零点的函数必须满足图象在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0.而x3附近的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.3设f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25
13、)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，则方程的根落在区间()A(2，2.25) B(2.25，2.5)C(2.5，2.75) D(2.75，3)解析：选C因为f(2.5)0，f(2.75)0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C.4若函数f(x)x3x22x2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：x11.51.251.3751.437 51.406 25f(x)20.6250.9840.2600.1620.054求方程x3x22x20的一个近似解(精确度0.04)解：因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1，1.5)；因为f(1.406 25)0.0540，所以x0(1.406 25，1.437 5)，此时|1.406 251.437 5|0.031 250.04.所以x0可以是1.406 25，1.437 5之间的任意一个数，故取x01.406 25.