1、第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2015广东文，8)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4D9答案B解析由题意得：m225429，因为m0，所以m3，故选B.2抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2B2C.D1答案D解析由y28x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d1.3已知椭圆1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB经过焦点F1，则ABF2的周长为()A10B20C2D4答案D解析由椭圆定义可知，有
2、|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，ABF2的周长L|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|2a2a4a.由题意可知b225,2c8，c216a2251641，a，L4，故选D.4椭圆1的一个焦点为(0,1)，则m()A1 B.C2或1D2或1或答案C解析焦点在y轴上，3mm2.由3mm21得m1或2，选C.5设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy2xCyxDyx答案C解析2b2,2c2，b1，c，a2c2b2312，a，故渐近线方程为yx.6(2015北京西城区高二期末测试)如图所示，汽车前反光镜与轴截面的交线是抛物线
3、的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm.那么灯泡与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为()A10 cmB7.2 cmC3.6 cmD2.4 cm答案C解析设抛物线的方程为y22px，由题意知，点(10,12)在抛物线上，12220p，p7.2.灯泡与反光镜的顶点距离为3.6cm.7(2015福建八县一中高二期末测试)经过点P(2，2)且与双曲线C：y21有相同渐近线的双曲线方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设所求双曲线方程为y2(0)，又点P(2，2)在双曲线上，4，2.所求双曲线的方程为1.8已知ab0，
4、e1、e2分别为圆锥曲线1和1的离心率，则lge1lge2()A大于0且小于1B大于1C小于0D等于1答案C解析lge1lge2lglglglglg10，lge1lge20，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为()A2 B.C. D.答案A解析由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，tan60，ba，代入a2b2c2中得4a2c2，e24，e1，e2，故选A.10(2015天津理，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析双曲线1(
5、a0，b0)的渐近线方程为yx，由点(2，)在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线y24x准线方程x上，所以c，由此可解得a2，b，所以双曲线方程为1，故选D.11(2015黑龙江哈师大附中高二期中测试)设P为椭圆1上的一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A. B.C. D.答案B解析a29，b24，c25.由椭圆定义知|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|FP2|22|PF1|PF2|36.在F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|220，|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|20
6、，3|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|.12(2015重庆文，9)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()ABC1D答案C解析由已知得右焦点F(c,0)(其中c2a2b2，c0)，A1(a,0)、A2(a,0)；B(c，)、C(c，)；从而A1B(ca，)，(ca，)，又因为A1BA2C，所以A1BA2C0，即(ca)(ca)()()0；化简得到1，即双曲线的渐进线的斜率为1；故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(201
7、5陕西理，14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析由题意可知，抛物线的准线方程为x，因为p0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(，0)；故由可解得p2.14(2015广东深圳市宝安区高二期末调研测试)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为_答案解析在椭圆中a2b2c2，a2c2.b2a2c2c2，在双曲线中，a2b2c2，a2c2c2，a2c2，e.15(2015黑龙江哈三中学高二期中测试)已知方程为4x2ky21的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_答案(0,4)解析方程4x2ky21可化为
8、1，由题意得，0k4.16方程1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则t4；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t.其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案解析显然当t时，曲线为x2y2，方程表示一个圆；而当1t4，且t时，方程表示椭圆；当t4时，方程表示双曲线；而当1tt10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故为真命题三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2015辽宁沈阳二中高二期中测试)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段A
9、B的中点M的轨迹解析设点M的坐标为(x，y)、点A的坐标为(x0，y0)由题意得，又点A(x0，y0)在圆(x1)2y24上，(2x3)2(2y3)24，即(x)2(y)21.故线段AB的中点M的轨迹是以点(，)为圆心，以1为半径的圆18(本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|5.(1)求抛物线的方程；(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点解析(1)由题意得|MF|45，p2，故抛物线方程为y24x.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x4.由，得y4.|
10、AB|8，4，以AB为直径的圆过原点当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x4)(k0)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，得k2x2(48k2)x16k20，x1x2，x1x216.y1y2k2(x14)(x24)k2x1x24(x1x2)16k216416k2(32)16，x1x2y1y20.又x1x2y1y20，OAOB，以AB为直径的圆必过原点综上可知，以AB为直径的圆必过原点20(本小题满分12分)(2014安徽文，21)设F1、F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|
11、AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解析(1)由|AF1|3|F1B|及|AB|4得|AF1|3，|F1B|1，又ABF2的周长为16，由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k，由椭圆定义知：|AF2|2a3k，|BF2|2ak，在ABF2中，由余弦定理得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，(ak)(a3k)0，而ak0，a3k，于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k，|BF2
12、|2|F2A|2|AB|2F2AAB，F2AAF1，AF1F2是等腰直角三角形，从而ca，所以椭圆离心率为e.21(本小题满分12分)(2015湖南文，20)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且A与B同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解析(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21 ；又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x24y，由此易知C1与C2的公共点的
13、坐标为(，)，1，联立得a29，b28，故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)， 因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，由，得x24kx40，由x1、x2是这个方程的两根，x1x24k，x1x24由，得(98k2)x216kx640，而x3、x4是这个方程的两根，x3x4，x3x4 将、代入，得16(k21).即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.22(本小题满分14分
14、)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)设椭圆的方程1(ab0)，F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，。a2b2c2，b212，故椭圆方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程yxt.由，消去y，得3x23txt2120.直线l与椭圆有公共点，(3t)212(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得，4，t2.由于24，4，故符合题意的直线l不存在