1、11.3 几何概型 考纲要求 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_ 长度面积体积几何概型3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_；(2)等可能性：每个结果的发生具有_无限多个等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内
2、的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)MN作为所求概率的近似值【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1，10内任取一个数，取
3、到 1 的概率是 P19.()【答案】B 1(教材改编)在线段0，3上任投一点，则此点坐标小于 1的概率为()A.12 B.13C.14D1【解析】坐标小于 1 的区间为0，1，长度为 1，0，3区间长度为 3，故所求概率为13.2(2015山东)在区间0，2上随机地取一个数 x，则事件“1log12x12 1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14【答案】A【解析】由1log12x12 1，得12x122，0 x32.由几何概型的概率计算公式得所求概率 P3202034.3(2014辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半
4、圆内的概率是()【答案】B A.2B.4C.6D.8【解析】设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)阴影面积长方形面积121212 4.4(2014 福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_【答案】0.18【解析】由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正 1801 0000.18，S 正1，S 阴0.18.5(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为_【解析】设圆的半径为 R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为 2R，则所求事件的概率为：PS阴S圆1
5、2 2R 2RR2 1.【答案】1题型一 与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)(2015重庆)在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_【解析】方程 x22px3p20 有两个负根，则有0，x1x20，x1x20，即4p24（3p2）0，2p0，3p20，解得 p2 或23p1，又 p0，5，则所求概率为 P3135 1035 23.【答案】23(2)(2016山东)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_【解析】圆(x5)2y29 的圆心为 C(5，0)，半径 r3，故由直线与圆相交可得|5k0|k21r，
6、即|5k|k213，整理得 k2 916，得34k34.故所求事件的概率 P34341（1）34.【答案】34(3)如图所示，在ABC 中，B60，C45，高 AD 3，在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM1 的概率【解析】因为B60，C45，所以BAC75.在 RtABD 中，AD 3，B60，所以 BDADtan 601，BAD30.记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1”，则可得BAMBAD 时事件 N 发生 由几何概型的概率公式，得：P(N)307525.【引申探究】若本例(3)中“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上
7、找一点M”，求BM1的概率【解析】依题意知 BCBDDC1 3，P(BM1)11 3 312.【方法规律】求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)跟踪训练1(1)如图，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_(2)已知集合 Ax|1x5，Bxx23x 0，在集合 A中任取一个元素 x，则事件“x(AB)”的概率是_【解析】(1)如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布
8、的，所以 OA 落在yOT 内的概率为 6036016.(2)由题意得 Ax|1x5，Bx|2x3，故 ABx|2x3由几何概型知，在集合 A 中任取一个元素 x，则x(AB)的概率为 P16.【答案】(1)16(2)16题型二 与面积有关的几何概型命题点 1 与平面图形面积有关的问题【例 2】(2015福建)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1，0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图象上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()【答案】B A.16 B.14C.38D.12【解析】由图形知 C(1，2)
9、，D(2，2)，S 四边形 ABCD6，S阴123132.P32614.命题点 2 与线性规划知识交汇命题的问题【例 3】(2017湖北华师一附中 3 月联考)在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x2y8 的概率为()A.14B.316C.916D.34【解析】0 x4，0y4表示的平面区域为正方形 OBCD 及其内部，如图所示，x2y8(x、y0，4)表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率 P4412424434，故选 D.【答案】D【方法规律】求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐
10、标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 跟踪训练 2(1)在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，则函数 f(x)x22axb2 2 有零点的概率为()A18B14C12D134(2)(2017枣庄八中模拟)在区间1，5和2，6内分别取一个数，记为 a 和 b，则方程x2a2y2b21(ab)表示离心率小于 5的双曲线的概率为()A.12B.1532C.1732D.3132【解析】(1)由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积 S(2)242.事件
11、A 表示函数 f(x)有零点，所构成的区域为 M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为 SM423，故 P(A)SMS4234214，所以选 B.(2)e21ba25，ba24，ba2，即 ab2a.作出1a5，2b6表示的区域如图，并作出直线 b2a 与 ba.【答案】(1)B(2)B S 阴4412331242152，所求概率 P S阴S正方形152441532.题型三 与体积有关的几何概型【例4】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_【答案】112【方法规律】求解
12、与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 跟踪训练3 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_【答案】16易错警示系列13 混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】(12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率【易错分析】不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率【规范解答】设x、y表示三段长度中的任意两个 因为是长度，所以应有0 x1，0y1，0 xy1，即(x，y)
13、对应着坐标系中以(0，1)、(1，0)和(0，0)为顶点的三角形内的点，如图所示(4分)所以 x12，y12，且 xy12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件(8 分)因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.(12 分)【温馨提醒】解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误.方法与技巧 1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个 2转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型 失误与防范 1准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.