1、3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离三维目标1知识与技能(1)理解点到直线的距离公式的推导过程(2)掌握点到直线的距离公式(3)掌握点到直线的距离公式的应用2过程与方法(1)通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想(2)通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力(3)通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力3情感、态度与价值观(1)引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感(2)培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力(3)在推导过程中，渗透数形结合、转化(或化归)等数学思想以及特殊与一般的方
2、法重点难点重点：点到直线的距离公式的推导及应用、两平行直线之间的距离求法难点：点到直线的距离公式的推导思路重难点突破：利用由特殊到一般及类比归纳的思想，由浅入深的引导学生探究点到直线的距离公式的推导思路，同时，教师借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解距离公式的导出过程，突破教学难点，最后通过课堂典例训练，师生互动，突出教学重点教学建议 根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问
3、题代数化的数学能力对于两平行直线之间的距离，由于两平行线间的距离处处相等，故教学时，可采用类比化归的思想，将其转化为点到直线的距离来解决问题教学流程创设问题情境，引出问题：如何探求一点到一直线的距离？课标解读1.掌握点到直线的距离公式(重点)2.能用公式求点到直线的距离(难点)3.会求两条平行直线间的距离(重点、易错点)点到直线的距离【问题导思】1如图，点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？【提示】d.2受问题1的启发，如何描述d同A，B，C及x0，y0间的具体关系？【提示】d.点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点
4、与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.两条平行直线间的距离【问题导思】如图l1l2，两平行线间的距离等于其中任意一条直线上的任意点到另一条直线的距离吗？【提示】等于两条平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离(2)求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离(3)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.求点到直线的距离求点P0(1,2)到下列直线的距离：(1)2xy100；(2)x2；(3)y10.【思路探究】对于(1)可用点到直线的距离公式求解，对于
5、(2)(3)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解【自主解答】(1)由点到直线的距离公式知d2.(2)法一直线方程化为一般式为x20.由点到直线的距离公式知d3.法二直线x2与y轴平行，由图(1)知d|12|3.(3)法一由点到直线的距离公式得d1.法二直线y10与x轴平行，由图(2)知d|21|1. 1求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式2当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合3几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|；(2)点P0(x0，y0)到直线xb的距离
6、d|x0b|.若点(a,2)到直线l：yx3的距离是1，则a_.【解析】直线l：yx3可变形为xy30.由点(a,2)到直线l的距离为1，得1，解得a5.【答案】5求两条平行直线间的距离求两条平行直线l1：6x8y20和l2：3x4y150的距离【思路探究】解答本题可先在直线l1上任取一点A(2,1)，然后再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式d.【自主解答】法一若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离即为所求的平行线间的距离，则d1.法二直接应用两条平行直线间的距离公式l1：3x4y100，l2：3x4y150，故d1.针对这种
7、类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)直接用公式d，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同求与直线l：5x12y60平行且与直线l距离为3的直线方程【解】与l平行的直线方程为5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得3，解得b45或b33.所以所求直线方程为：5x12y450或5x12y330.巧用数形结合思想求两平行线间距离的最值问题(12分)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程【思路点拨】解答本
8、题可以利用运动变化的观点，让两直线分别绕定点转动，观察它们之间距离的变化情况，从而得d的范围【规范解答】(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d|AB|3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0d3，即所求的d的变化范围是(0,3.6分(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，所以k3，8分故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.12分数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围类似地，当
9、一条直线过定点A时，点B到这条直线l的距离d也是当lAB时最大，l过B点时，最小为零1应用点P(x0，y0)到直线AxByC0(A、B不同时为零)距离公式d的前提是直线方程为一般式特别地，当直线方程A0或B0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解2两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想二是直接套用公式d，其中l1：AxByC10，l2：AxByC20，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同1原点到直线x2y50的距离为()A1B.C2D.【解析】d.【答案】D2两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y120的距
10、离为()A3 B2 C1 D.【解析】d1.【答案】C3若点P在直线xy40上，O为原点，则|OP|的最小值是_【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线xy40的距离d2.【答案】24直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程【解】由题意可知，直线l的斜率一定存在又直线l过原点，设其方程为ykx，即kxy0.由点(2,1)到l的距离为1，得1.解得k0或k.直线l的方程为y0或4x3y0.一、选择题1(2013长春高一检测)若点(1，a)到直线xy10的距离是，则实数a为()A1B5C1或5 D3或3【解析】由点到直线距离公式：，a1或5，故选C.【答案】C2到直线3x4y110的
11、距离为2的直线方程为()A3x4y10B3x4y10或3x4y210C3x4y10D3x4y210【解析】设所求的直线方程为3x4yc0.由题意2，解得c1或c21.故选B.【答案】B3(2013威海高一检测)已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.C. D.【解析】由两直线平行可知，故m4.又方程6x4y10可化简为3x2y0，平行线间的距离为.故选D.【答案】D4直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A3x2y60 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80【解析】法一设所求直线的方程为2x3yC0，由题意可知.C6(舍)或C8.故所求
12、直线的方程为2x3y80.法二令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，1)的对称点为(2x0，2y0)，此点在直线2x3y60上，代入可得所求直线方程为2x3y80.【答案】D5(思维拓展题)两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是()A0d5 B0d13C0d12 D5d12【解析】当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以0d13.【答案】B二、填空题6点(2,1)到x轴的距离为_，到y轴的距离为_，到直线yx的距离为_【解析】点(2,1)到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，到直线xy0的距离为.【答案】
13、127分别过点A(2,1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线的距离为_【解析】如图所示：两直线的距离为：235.【答案】58已知xy30，则的最小值为_【解析】设P(x，y)，A(2，1)，且点P在直线xy30上， |PA|.|PA|的最小值为点A(2，1)到直线xy30的距离d.【答案】三、解答题9已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，求ABC的面积【解】如图，设AB边上的高为h，则SABC|AB|h.|AB|2，AB边上的高h就是点C到AB的距离AB边所在直线的方程为，即xy40.点C(1,0)到xy40的距离h.因此，SABC25.10(2013郑州高一检测)
14、求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程【解】由题意得lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kABkl，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.11(2013长沙高一检测)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程【解】若l1、l2的斜率存在，l1l2，设两直线的斜率为k.由斜截式得l1的方程ykx1，即kxy10.由点斜式得l2的方程yk(x5)，即kxy
15、5k0.由两平行线间的距离公式得5，解得k，l1的方程为12x5y50，l2的方程为12x5y600.若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x0，l2的方程为x5，它们之间的距离为5，同样满足条件则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600；或l1：x0，l2：x5.已知正方形ABCD的相对顶点A(0，1)和C(2,5)，求顶点B和D的坐标【思路探究】根据正方形的性质，顶点B和D在线段AC的垂直平分线上，且到直线AC的距离相等，故可列方程组求解【自主解答】线段AC的中点为M(1,2)，直线AC的斜率kAC3.因为ACBD，所以kBD，所以直线BD的方程为y2(
16、x1)，即x3y70.直线AC的方程为y(1)3(x0)，即3xy10.又因为|AC|2，所以点B和点D的坐标满足解得或故B、D点的坐标为(4,1)，(2,3)或(2,3)，(4,1)1解决本题的关键在于结合正方形的性质列方程组求解，注意B、D两点的坐标有两个解2已知直线方程和点到直线的距离时，可先设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式列方程(组)求解，在解决有关三角形或四边形有关距离问题时，可结合图形几何性质直观分析、运用数形结合的思想解决已知正方形的中心为直线2xy20和xy10的交点，其一边所在直线的方程为x3y50，求其他三边的方程【解】由解得即该正方形的中心为(1,0)所求正方形相邻两边方程3xyp0和x3yq0.中心(1,0)到四边距离相等，解得p13，p29和q15，q27，所求方程为3xy30,3xy90，x3y70.13
