1、学案4 一次函数和二次函数 填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点1考点2考点3 考点4 考点5 返回目录考 纲 解 读(1)会用基本初等函数的图象理解、分析、研究函数的性质.(2)会用一次函数、二次函数模型解决实际问题.二次函数返回目录1.二次函数的图象与性质是历年高考命题的热点内容,今后仍将是高考命题的热点.2.与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题.3.选择、填空、解答三种题型都有可能出现.考 向 预 测 返回目录1.一次函数的概念及性质(1)函数叫做一次函数.它的定义域为，值域为R.一次函数又叫做.(2)性
2、质：当k0时，一次函数是函数;当k0时,一次函数是函数.减y=kx+b(k0)R 线性函数增返回目录2.二次函数的概念及性质(1)二次函数解析式的三种形式：一般式f(x)=ax2+bx+c(a0);顶点式f(x)=a(x-m)2+n(a0);两根式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为,顶点坐标是.)4ab-4ac,2ab(-22ab-返回目录当a0时，抛物线开口向上，函数在（-，上，在 ,+）上，当x=时,f(x)min=.当a0时图象与x轴有两个交点M1(x1,0)，M2(x2,0),|M1M2|=.2
3、ab-2ab-2ab-2ab-2ab-2ab-递减递增)4ab-4ac,2ab(-2递减递增4ab-4ac2|x1-x2|a|返回目录考点1 求二次函数的解析式【分析】(1)只需证明0即可.(2)利用根与系数的关系求m.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式.32返回目录【解析】(1)证明：与这个二次函数对应的一元二次方程是x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0.=4(m-1)2-4
4、(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=160,方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根,不论m取何值,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点.(2)由题意可知x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个实数根,x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-2m-3.,即,.解得m=0或m=5.经检验,m=0,m=5都是方程的解.所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.32x1x12132xxxx2121323m2m)1m(22在掌握函数解析式y=f(x),方程f(x)=0及y=f(x)的图象间的关系的基础上,判别
5、式以及韦达定理是处理根与系数关系的基本工具,必须熟练掌握.返回目录返回目录已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为A,图象与x轴的交点为B,C,其中B点的坐标为(-1,0)且ABC的面积为18,试确定这个二次函数的解析式.【解析】解法一:由f(2-x)=f(2+x),二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2,故点B(-1,0)在f(x)的图象上,故a(-1)2+b(-1)+c=0,即a-b+c=0 又ABC的面积为18，故2-(-1)=,即=6 22ab-214ab-4ac22184ab-4ac2返回目录由得b=-4a,分别代入中,得a+4a+c
6、=0,即5a+c=0.=6,即c-4a=6.a=a=-b=-b=c=-c=.f(x)=x2-x-或f(x)=-x2+x+.4a16a-4ac2或由此解得3238310323831032383103238310返回目录解法二:由f(2-x)=f(2+x)知,二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2,又B(-1,0),故C点坐标为(5,0).设顶点A的纵坐标为y,则由ABC面积为18，有(5+1)|y|=18，故可解得y=6,A点坐标为(2,6).可设f(x)=a(x-2)2+6或f(x)=a(x-2)2-6.B(-1,0)是f(x)图象上一点,故a(-1-2)2+6=0或a(-1-2)2-6=0
7、.解得a=-或a=.f(x)=-(x-2)2+6或f(x)=(x-2)2-6.2132323232返回目录（1）2010年高考四川卷函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是()A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1（2）函数f(x)=2x2+mx-1在区间-1,+)上递增，则f(-1)的取值范围是.(-,-3返回目录考点2 二次函数性质的应用【分析】利用二次函数的对称轴解决问题.A 返回目录解法二：f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=,=1,即m=-2.故应选A.（2）抛物线开口向上，对称轴为x=,-1,m4.又f(-1)=1-m-3,f(-1)(-,-3.4m
8、4m【解析】(1)解法一:函数y=f(x)关于x=1对称的充要条件是f(x)=f(2-x),x2+mx+1=(2-x)2+m(2-x)+1,化简得(m+2)x=m+2,m+2=0,即m=-2.2m2m本题考查了二次函数对称轴的求法,以及利用对称轴研究二次函数的单调性.返回目录设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0 x1x200 0 g(0)0,a3+2 或a3-2 -1a0,0a3-2 .故所求实数a的取值范围是(0,3-2 ).即则由题意得21 a2222返回目录(2)由题意知f(0)f(1)-f(0)=2a2.令h(a)=2a2,则当0a3-2 时,
9、h(a)是增函数.h(a)h(3-2 )=2(3-2 )2=2(17-12 )=2 .即f(0)f(1)-f(0).2222212171161161返回目录考点3 二次函数在给定区间上的最值问题已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值,记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)求g(a)的最大值.【分析】抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值.【解析】(1)由f(x)=2x2-2ax+3=2（x-）2+3-知对称轴方程为x=,根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论.2a22a2a返回目录当-1,即a-2时,g(a)=f(-1)=2a+
10、5;当-1 1,即-2a2时,g(a)=f()=3-;当1,即a2时,g(a)=f(1)=5-2a.综合,得2a+5 (a-2)3-(-2a2)5-2a (a2).(2)当a-2时,g(a)1;当-2a2时,g(a)3;当a2时,g(a)1.当a=0时,g(a)的最大值为3.2a22a2a2a2ag(a)=22a返回目录(1)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式,得顶点(m,n)或对称轴方程x=m,可分成三个类型:顶点固定,区间固定;顶点含参数,区间固定;顶点固定,区间变动.(2)二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常
11、和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力，所以历来为高考命题专家所青睐.解决最值问题的关键是与图象结合，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质.当然这离不开有关函数最值的基本知识，如最值公式、均值定理、配方法等.返回目录已知f(x)=x2+ax+3-a，若当x-2,2时，f(x)0恒成立，求a的范围.【解析】f(x)=x2+ax+3-a=（x+）2-+3-a.当-4时，f(x)min=f(-2)=7-3a0,a,又a4,故此时a不存在.2a4a237返回目录2a返回目录当-22，即-4a4时，f(x)min=f（）=3-
12、a-0,a2+4a-120.-6a2.又-4a4,-4a2.当2，即a-4时，f(x)min=f(2)=7+a0,a-7.又a-4，故-7a0,即aa (x+a)2-2a2,xa （)当a0时，f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2,此时g(a)=-2a2.()当aa,则由知f(x);若xa，由x+a2a .3a=3a223a3a223a223a22返回目录此时g(a)=.-2a2,a0,a-2x的解集为x|1x3.（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.【解析】（1）f(x)+2x0的解集为x|1x3,可设f(x
13、)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.返回目录由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.方程有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0,即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a0，舍去a=1.将a=-代入得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.5151515653返回目录(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=由a0a0,解得a-2-或-2+a0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元(a0).(
14、1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即x多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大.返回目录【分析】确定函数表达式是关键,由题意可先求自变量x的取值范围.【解析】(1)由题意得(100-x)3 000(1+2x%)1003 000,即x2-50 x0,解得0 x50.又x0,0 x50.(2)设这100万农民的人均年收入为y元,则1003000%)21(3000)10(axxxy3000)1(30106100300000)1(30006022xaxxax返回目录若2
15、5(a+1)50,即01时,函数在(0,50上是增函数.当x=50时,ymax=-502+30(a+1)50+3 000=-1 500+1 500a+1 500+3 000=1 500a+3 000.若01,当x=50时,能使100万农民的人均年收入最大.106106返回目录解实际问题关键是建立数学模型,列出正确的数学关系式.返回目录某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,而后60天其价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如下表:(1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场的第x天);(2)销售量g(x)与时间x的函数关系为:g(x)=-x+(1x100,xN)
16、,则该产品投放市场第几天销售额最高?最高为多少千元?时间 第4天 第32天 第60天 第90天 价格(千元)23 30 22 7 313109返回目录【解析】(1)用求直线方程的方法得x+22,1x40,-x+52,40 x100.(2)设日销售额为S(x),则当1x40时,S(x)=f(x)g(x)=(x+22)(-x+)=(x+88)(-x+109)=-(x2-21x-9 592).当x=10或x=11时,S(x)max=808.5(千元).当40 x100时,S(x)=(-x+52)(-x+)=(x2-213x+11 336).当x=40时,S(x)max=736808.5.综上得:销售
17、额最高在第10天和第11天,最高销售额为808.5千元.f(x)=4121413131091211212131093161返回目录1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等.3.求二次函数解析式的方法有:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k;(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2).返回目录4.关于二次函数y=f(x)对称轴的判断方法:(1)对于二次函数y
18、=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为.(2)对于一般函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=a(a为常数).(3)对于一般函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x+2a)=f(x),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a为常数).注意:(2),(3)中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(x)是等价的.(4)利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a0)的对称轴方程为x=-.(5)利用方程的根求对称轴方程.若二次函数y=f(x)对应方程为f(x)=0的两根为x1,x2,那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为.221xx 221xx ab2返回目录