1、直线与平面垂直判定 教学设计 (一)教学目标1、 知识与技能:掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直判定定理及推论2、 过程与方法:在教学过程中不断渗透数学思想,培养学生的数学能力.(1)空间想象能力: 通过实际操作和联系实际,发展学生的几何直观能力;对空间图形位置关系的认识,遵循了从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从平面到空间的过程;图形的运动,帮助学生理清空间关系,这些过程都培养了学生空间想象能力(2)逻辑思维能力: 通过对判定定理和其推论的证明以及应用,加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养.(3)转化的思想方法: 把空间中的线面关系转化为熟知的线线关系.(4)应用意识
2、和能力:用向量来证明直线与平面垂直判定定理培养了学生应用向量知识来解决实际问题得意识和能力.例题是实际问题培养了学生应用数学知识解决实际生活中的问题的应用意识.3、 情感、态度与价值观: 直线与平面垂直判定定理的教学让学生体验“提出问题-思考-实验发现-猜想(调整猜想)-论证-结论-反思”这一研究问题的全过程,调动了学生发现并解决问题的积极性,教育学生在研究问题时要有严谨的态度,科学的方法.(二)教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直判定定理及应用.教学难点:直线与平面垂直判定定理的发现与用向量知识进行证明的过程 复习巩固目前学习的空间直线有哪些位置关系?新课讲解一、直线
3、与平面垂直的概念(一)空间中直线与直线垂直:强调:(1)两直线交于一点或平移后交于一点 (2)交角为直角特别强调两条异面直线垂直是指将其中一条直线平移与另一条直线相交且交角为直角.请学生在教室中找出一些互相垂直的异面直线. 设计意图: 通过身边的实例帮助学生理解空间中的直线与直线垂直(二)直线与平面垂直1、观察:旗杆与地面的位置关系,直立的人与地面的位置关系,吊灯的线与地面的位置关系. 设计意图: 通过一些实例使学生从直观上对线面垂直有一定的认识2、操作:一名学生演示一根细木棍固定,另一支细木棍绕的中点保持垂直同时旋转(其他学生可以用两只笔进行实验),学生观察并思考:(1)木棍所在直线运动轨迹
4、是什么?(2)木棍与木棍的运动轨迹的位置关系是什么? 教师演示电脑课件:两条直线垂直相交,其中一条旋转,形成一个平面.设计意图: 通过实际操作让学生加深对线面垂直的理解;通过观察直线绕一点旋转成面的过,让学生体会直线不仅通过平移运动能成平面,旋转运动也能成平面,但注意旋转的条件,增强学生从运动的观点看线面关系的意识,同时培养学生的空间想象能力.3、直线与平面垂直的定义:文字语言:图形语言:符号语言:注:直线与平面垂直的定义中我们可以得到(1) 直线与平面垂直的性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.即 直线(2) 直线与平面垂直的判定:定义本身二、直线与平面垂直判
5、断定理的教学思考:直线与平面互相垂直的定义为判段直线与平面平行提供了一种方法,但证明一条直线与平面内任意一条直线垂直是不可操作的,能否将这个条件简化,通过直线与平面内的有限条直线垂直来判断出直线与平面垂直呢?操作:拿一张矩形的纸对折后略微展开,判断折痕AB与线段CB,BD的位置关系; ();将折后的纸竖立在桌面上,观察折痕与桌面的关系.(折痕与桌面垂直)猜想:若学生猜想:若一条直线垂直与平面内的两条直线,则这条直线垂直于已知平面;反例,如图引导学生观察: “操作”中CB,BD交于点D,因此调整猜想: 一条直线垂直与平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于已知平面;论证:已知：直线和平面，,且求证
6、：证明：如图,设与分别是直线,b上的单位向量, 平面内任意一条直线,是直线上一单位向量,是直线上的单位向量,以为基底, =m+n因为所以所以所以所以,所以直线因为为平面内任意一条直线所以结论:直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这直线与这个平面垂直条数学语言： 图形语言：反思:判定一条直线与平面垂直的条件可以简化为:这条直线与平面内的一条直线垂直吗?不能,举反例设计意图: 让学生经历“提出问题-思考-实验发现-猜想(调整猜想)-论证-结论-反思”这一研究问题的全过程,教给学生研究问题的方法,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的意识和能力; “操作”同过直观培养
7、了学生的空间想象能力, 从“操作”到“猜想”是从直观到抽象的过程,这个过程培养了学生把生活中的问题抽象成数学问题的能力;整个研究过程不断引导学生进行思考,能很好地调动学生的思维. 选择向量的方法证明判定定理，既可以便于学生理解，又能巩固向量的知识，应用向量知识来解决问题，体现向量的工具作用，培养学生用向量知识解决几何问题的意识。利用向量对定理进行严格的证明，培养学生的说理能力和逻辑思维能力。用向量的方法证明可能遇到的问题是:向量的内容学生遗忘得比较多,因此上课之前要让学生做好平面向量基本定理和向量数量积的复习,为课堂做好知识准备，这一点至关重要。书上的思考与讨论对于普通学校的大部分学生来说都比
8、较难理解，只要求基础好的学生了解. 三、判定定理推论1和推论2的教学思考:若,则是真命题还是假命题证明：在平面内作两条相交直线 推论1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一个条直线也垂直于这个平面直接给出推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.不进行证明,只画图观察,理解则可注:从推论1和推论2可知: (1),(2),(3)将这三个关系式中任意两个作为题设,另一个作结论,命题均为真设计意图: 把推论2作为一个命题给出,并进行证明,是对定理及时的应用,除了得出结论外还起到了一个例题的作用.书上用反证法对推论2进行证明,这里的反证法对学生来说理解起来有很大的困难,也不
9、是这节课的重点,因而在这节课种直接给出推论2,不进行证明.四、应用1、判断题(1)若一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边,则这条直线与该平面垂直.( )(2)若一条直线垂直于一个平面内的梯形的两边,则这条直线与该平面垂直. ( )(3) 已知平面,直线,且, AB,CD是的直径,若,则 ( )(4)若一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与该平面内的任何一条直线都不垂直. ( )(5)已知平面和直线,如果 ( )2、书上例2设计意图: 判断题帮助学生理清概念和定理,其中(3)(5)可以帮助学生熟悉数学符号;书上的例2体现了线面垂直与实际问题的联系.在学生书写解题过程中,可培养学生的逻辑思维能力和运用数学语言的能力.五、小结1、线线垂直的定义2、线面垂直的定义和判定定理3、应用判定定理解决实际问题六、课后探究线面垂直的判定定理的其他证明方法
