1、第52节 几何概型考纲呈现1了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率 2了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率.诊断型微题组 课前预习诊断双基1几何概型 如果每个事件发生的慨率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有；(2)等可能性：每个结果的发生具有 长度 面积体积几何概型无限多个等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式
2、进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)MN作为所求概率的近似值 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)在一个正方形区域内任取一点的概率是
3、零()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()2(2015 山东，7)在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log12 x12 1”发生的概率为()A.34 B.23 C.13 D.14【答案】A【解析】由1log12 x12 1，得12x122，解得0 x32，所以事件“1log12 x12 1”发生的概率为3202034，故选 A.3(2018 届青海西宁复习检测)已知球 O 内切于棱长为 2 的正方
4、体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_【答案】16【解析】由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球43，正方体的体积为 V 正方体238，则这一点不在球内的概率 P1438 16.4点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧AB的长度小于 1 的概率为_【答案】23【解析】如图可设AB与AB 的长度等于 1，则由几何概型可知其整体事件是其周长 3，则其概率是23.5(教材习题改编)如图，圆中有一内接等腰三角形假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为_【答案】1【解析】设圆的半径为 R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角 形，其直 角
5、边 长为2 R，则 所求 事件 的概 率 为 PS三角形S圆 12 2R 2RR21.形成型微题组 归纳演绎形成方法 与长度、角度有关的几何概型 1(2018 陕西西安质检)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径的 2倍的概率是()A.34 B.12 C.13 D.35【答案】B【解析】作等腰直角AOC 和AOM，B 为圆上任一点，当点 B在MDC 上运动时，弦长|AB|2R，2(2018 湖南长沙一模)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A 为圆心，1 为半径画圆，交线段 AB 于 E，在圆弧 DE 上任取一点 P，则直线 AP 与线段
6、BC 有公共点的概率为()A.16 B.14 C.13 D.23【答案】C【解析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是BAD.如图，连接 AC 交弧 DE 于 P，则 tanCAB 13，CAB30，满足条件的事件是直线 AP 在CAB 内时，AP 与 BC 相交，即直线 AP 与线段 BC 有公共点，PCABDAB309013，故选 C.微技探究 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)1.(2018 吉林长春三
7、模)已知函数 f(x)log2x，在区间1,4上随机取一个数 x，使得 f(x)的值介于1 到 1 之间的概率为()A.13 B.34 C.12 D.23【答案】A【解析】由1log2x1，得12x2，而1,412，2 1,2的区间长为 1，区间1,4的长度为 3，所以所求概率为13.故选 A.2.(2018 山西太原一中三模)如下图，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部任作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AM 小于 AC 的概率【解】此时，应该看作射线 CM 落在ACB 内部是等可能的公式中的区域 D 是ACB(内部)，而区域 d 求法是在线段 AB 上
8、取一点C，使得线段 AC的长度等于线段 AC 的长度(如图)，那么区域 d就是ACC(内部)从而区域 d 的测度就是ACC的度数，区域 D的测度就是ACB 的度数ACC1804521352 67.5，所以所求事件的概率为ACCACB 67.590 34.与面积有关的几何概型命题角度 1 与平面图形面积有关的几何概型 (2019 河北石家庄教学质量检测)如图，圆 C 内切于扇形 AOB，AOB3，若向扇形 AOB 内随机投掷 600 个点，则落入圆内的点的个数估计值为()A100 B200 C400D450【答案】C【解析】如图所示，作 CDOA 于点 D，连接 OC 并延长交扇形于点 E，设扇
9、形半径为 R，圆 C 半径为 r，则 Rr2r3r.落入圆内的点的个数估计值为 600r2163r2400.命题角度 2 与线性规划有关的几何概型 (2018 安徽芜湖模拟)由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为 1，由不等式组xy1，xy2 确定的平面区域记为 2，若在 1中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为_【答案】78【解析】如图，平面区域 1 就是三角形区域 OAB，平面区域 2与平面区域 1 的重叠部分就是区域 OACD，解xy1，yx20 得 C12，32，故 由 几 何 概 型 的 概 率 公 式，得 所 求 概 率 P S四边形OACDSOABSOABSBCDS
10、OAB2142 78.微技探究 求解与面积有关的几何概型的注意事项 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 1.(2018 陕西师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)阴影面积长方形面积121212 4.2.(2018 安徽六安第一中学月考)若不等式组xy10，xy10，y120表示的区域为
11、，不等式x122y214表示的区域为，向区域 内均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 中的芝麻数约为()A150B114 C70D50【答案】C【解析】作出平面区域，如图所示，则区域 的面积为 SABC1233294，区域 表示以 D12，0 为圆心，以12为半径的圆，则区域 和 的公共面积为 S341221212231618，所以芝麻落入区域 的概率为 SSABC3236，所以落在区域 中的芝麻数约为3603236 3020114，故选 B.与体积有关的几何概型 1(2018 贵州黔东南一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的
12、距离均大于 1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.18B.16 C.127D.38【答案】C【解析】由题意知蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为 1 的小正方体内这个小正方体的体积为 1，大正方体的体积为 27，故蜜蜂安全飞行的概率 P 127.2(2018 黑龙江哈尔滨模拟)在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱AB 上任取一点 P，则三棱锥 SAPC 的体积大于V3的概率是_【答案】23【解析】如图，三棱锥 SABC 与三棱锥 SAPC 的高相同，要使三棱锥 SAPC 的体积大于V3，只需APC 的面积大于ABC 的面积的13.微技探究 求解与体积有
13、关的几何概型的注意事项 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 1.(2018 安徽马鞍山二中月考)在棱长为 2 的正方体内部随机取一点，则该点到正方体 8 个顶点的距离都不小于 1 的概率为()A.16B.56C.6D16【答案】D【解析】符合条件的点 P 落在棱长为 2 的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为 1 的18球体外根据几何概型的概率计算公式得，P2381843132316.故选 D.2.(2018 天津河西区一模)有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面
14、圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为()A.23 B.13 C.89 D.4【答案】A【解析】圆柱内到 O 点的距离不大于 1 的点在以 O 为球心，半径的 1 的半球内，V 圆柱2，V 半球12431323，V半球V圆柱13，故点 P到点 O 的距离大于 1 的概率为23.易错警示 混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】在长度为 1 的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率【易错分析】(1)不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率(2)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误(3)利用几何概型的概率公式
15、时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误 【解】设 x，y 表示三段长度中的任意两个 因为是长度，所以应有 0 x1,0y1，0 xy1xy，1xyxy，1xyyx，所以 x12，y12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，所以这三条线段能构成三角形的概率为14.微技探究 在几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 在区间2，2 上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 至12之间的概率为_【答案】13【解析】由 0cos x12，x2，2，可得2x3，或3x2，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为 P22322
16、13.目标型微题组 瞄准高考使命必达A.14 B.8C.12 D.4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半，由几何概型概率的计算公式得，所求概率为12a22a28，选 B.2(2016 全国，4)某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13 B.12 C.23 D.34【答案】B【解析】如图所示，画出时间轴 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或
17、 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，得所求概率 P10104012，故选 B.3(2016 全国，8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310【答案】B【解析】至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058，故选 B.4(2016 全国，10)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn 【答案】C【解析】由题意，得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式，知41mn，4mn.故选 C.5(2017 江苏，7)记函数 f(x)6xx2的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是_【答案】59【解析】由 6xx20，得 x2x60，解得2x3，根据几何概型的概率计算公式，得 xD 的概率是325459.