1、第二课时基本不等式的应用(习题课)应用基本不等式证明不等式例1(链接教科书第46页练习2题)(1)已知x，y都是正数，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3；(2)已知a0，b0，ab1，求证：9.证明(1)因为x，y都是正数，所以xy20，x2y220，x3y320.所以(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立(2)因为a0，b0，ab1，所以112.同理12.故52549.所以9，当且仅当ab时取等号利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质
2、和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用 跟踪训练1设a，b，c都是正数，试证明不等式：6.证明：222 6，当且仅当，即abc时取等号2已知ab，b0，c0，且abc1.求证：8.证明：因为a0，b0，c0，abc1，所以1，同理1，1.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立基本不等式的实际应用例2(链接教科书第46页例3、
3、第47页例4)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x248496x元，池底造价为2008016 000元，四周围墙造价为400800元因此，总造价为y496x80016 000(x0)1 296x16 0002 16 00028 80016 00044 800.当1 296x，即x时，等号成立这时，污水池的长
4、为18 m.故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元应用基本不等式解决实际问题的方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值，正确写出答案 跟踪训练1某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，且x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此
5、时年平均利润最大，最大值为8万元答案：582某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？解：(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，则y0.5x2800150(00，30，(abc)33 9.迁移应用1利用上述结论求解：设a0，b0，c0
6、，abc1，求(1a)(1b)(1c)的最大值解：因为a0，b0，c0，所以abc，又因为abc1，01a1，01b1，01c1，所以(1a)(1b)(1c)，当且仅当abc时，等号成立所以(1a)(1b)(1c)的最大值为，2利用上述结论的推广求解：已知a，b，c均为正实数，求的最小值解：3369.当且仅当abc时等号成立的最小值为9.1用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积解：设矩形菜园的长和宽分别为x m，y m，x0，y0，面积为S m2，由题意得2(xy)36，xy18. x0，y0，Sxy81，当且仅当xy9时取“”，当长和宽都为9 m时，菜园面积最大，最大面积为81 m2.2若a0，b0，证明：(1)；(2).证明：(1)a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立)，2(a2b2)(ab)2，(当且仅当ab时，等号成立)(2)若a0，b0，则ab2(当且仅当ab时等号成立)(ab)2ab，(当且仅当ab时等号成立).