1、函数的单调性1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的性质3能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性 知识梳理1函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x)，若对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数2函数的单调区间的定义如果函数yf(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.如果函数是增函数，则称区间D为增区间，如果函数是减函数，则称区间D
2、为减区间.3单调函数的图象特征增函数的图象是上升的(如图1)，减函数的图象是下降的(如图2)图1图21单调性定义的等价形式：设x1，x2a，b，且x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00，则函数在区间D上单调递增；若对D内任意的x，f(x)0，则函数在区间D上单调递减. 热身练习1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是(D)Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1) 根据单调性的定义，满足条件的函数f(x)在(0，)上为增函数，分别作出
3、选项A，B，C，D的图象(如下图)，根据图象特征进行判断由图象可知，应选D.2(2016北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是(D)Ay Bycos xCyln(x1) Dy2x 选项A中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；选项B中，ycos x在(1,1)上先增后减；选项C中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项D中，y2x()x在R上为减函数，故y2x在(1，1)上为减函数3已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为(D)A1,2 B(1,2)C(，1)(2，) D(，12，
4、) 因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a2或a1.4函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(B)A. B.C2 D4 因为yax与yloga(x1)的单调性相同，所以f(x)axloga(x1)是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得，所以最值之和为f(0)f(1)a0loga1aloga2a.所以loga210，所以a.5(2018杭州期中)函数f(x)log(4x2)的单调递增区间为0,2). 函数的定义域是(2,2)u4x2的递减区间为0,2)，又因为0)在(0，)上是减函数 因为没有要求一定要用
5、定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明 (方法一)设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)()因为0x1x2，所以x1x20,0x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)x在(0，)上是减函数(方法二)因为0x，所以f(x)10)是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？1 证明函数f(x)x(a0)在(，)上是增函数 (方法一)设x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)()因为x1x2，所以x1x2a，所以f(x1)f(x2)0，
6、即f(x1)，所以f(x)10，所以f(x)在(，)上是增函数 复合函数的单调性(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8) 的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，) 由x22x80，得x4或x0，所以x2或xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac(2)(2018昭通月考)已知函数f(x)是定义域(3,3)上的增函数，如果f(3m)f(m23)，则实数m的取值范围是()A(2，) B(，)C(，2) D(，2)(2，) (1)由条件知f(x)的图象关于x1对称，且f(x)在(1，)上是减函数，因为af()f()，且2ac.(2)依
7、题意解得2m. (1)D(2)A (1)单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面：根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等；根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等(2)解函数不等式的一般步骤：第一步，(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步，(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步，(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步，(求解)解不等式或不等式组确定解集3(1)已知f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则(B)Af(x1)0，f(x2
8、)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0(2)已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是(D)A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1) (1)因为函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.(2)因为当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数图象是一条连续不断的曲线因为当x0时，f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，且当x10时，f(x1)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1，故选D.1对于单调性的定义的理解，要注意
9、以下四点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区间(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(x1)f(x2)x1x2(或x1x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”，即有x1x2f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2)(4)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，而不能写成并集如f(x)在(，0)和(0，)都是减函数，单调区间不能写成(，0)(0，)，事实上，f(x)在(，0)(0，)上不是减函数2证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以从导数入手；判断函数的单调性或者求函数的单调区间一般可以：从定义入手；从导数入手；从图象入手；从熟悉的函数入手；从复合函数的单调性规律入手