1、8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理课后训练巩固提升一、A组1.从空间一点P向二面角-l-的两个面,分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若EPF=60,则二面角的平面角的大小是()A.60B.120C.60或120D.不确定解析:若点P在二面角内,则二面角的平面角为120;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60.答案:C2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角()A.相等B.互补C.不确定D.相等或互补解析:如图,两两互相垂直,为过,交线的动平面,显然且,但,的夹角无法确定.故选C.答案:C3.如图,在立体图形D-ABC中,若AB=C
2、B,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDEC.平面ABD平面BDCD.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE解析:由条件得ACDE,ACBE,又DEBE=E,AC平面BDE,AC平面ADC,AC平面ABC,平面ABC平面BDE,平面ADC平面BDE,故选B.答案:B4.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PCBC,PCAC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是()A.平面EFG平面PBCB.平面EFG平面ABCC.BPC是直线EF与直线PC所成的角D.FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角
3、的平面角解析:A正确,GFPC,GECB,GFGE=G,PCCB=C,平面EFG平面PBC;B正确,PCBC,PCAC,PCGF,GFBC,GFAC,又BCAC=C,GF平面ABC,平面EFG平面ABC;C正确,易知EFBP,BPC是直线EF与直线PC所成的角;D错误,GE与AB不垂直,FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()A.32B.22C.2D.3解析:如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD中点,A1D=A1B,在A1BD中,A1OBD.又在正方形A
4、BCD中,ACBD,A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA1=1,则AO=22.tanA1OA=122=2.答案:C6.如图,ABC是直角三角形,ABC=90,PA平面ABC,则此图形中有个直角三角形.解析:PA平面ABC,PABC.又ABBC,PAAB=A,BC平面APB.PB平面APB,BCPB,PBC为直角三角形.又PA平面ABC,PAAB,PAAC,PAB与PAC为直角三角形,又ABC为直角三角形,共4个直角三角形.答案:47.已知P是ABC所在平面外一点,PBC和ABC都是边长为2的正三角形,PA=6,则二面角P-BC-A的大小为.解析:取BC的中点O,连接OA,OP,则PO
5、A为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=3,PA=6,所以POA为直角三角形,POA=90.答案:908.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是.解析:如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AEBC,DEBC,AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.在RtAEO中,AE=32,EO=13ED=1332=36,cosAEO=EOAE=13.答案:139.如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为60,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为30,沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人
6、升高了多少?(精确到0.1 m)解:取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内,作EFAB,垂足为F,并连接FG,则FGAB,即EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角,EFG=60,由此得EG=EFsin60=CEsin30sin60=101232=5324.3(m).答:沿直道行走10m时人升高约4.3m.10.如图,在三棱锥S-ABC中,SC平面ABC,点P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,ACB=90,直线AM与直线PC所成的角为60.(1)求证:平面MAP平面SAC;(2)求二面角
7、M-AC-B的平面角的正切值.(1)证明:SC平面ABC,SCBC.又ACB=90,ACBC.ACSC=C,BC平面SAC,又P,M分别是SC,SB的中点,PMBC,PM平面SAC.又PM平面MAP,平面MAP平面SAC.(2)解:同(1),可证AC平面SBC,ACCM,ACCB,从而MCB为二面角M-AC-B的平面角.直线AM与直线PC所成的角为60,过点M作MNCB于点N,连接AN,MNPC,则AMN=60.在RtACN中,CN=PM=1,AC=1,由勾股定理得AN=2.在RtAMN中,MN=ANtanAMN=233=63.在RtCNM中,tanMCN=MNCN=631=63,故二面角M-
8、AC-B的平面角的正切值为63.二、B组1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,则二面角C-BD-C1的大小是()A.30B.45C.60D.90解析:连接BD,过点C作CEBD于点E,连接C1E,在长方体AC1中,CC1底面ABCD,CC1BD.又CEBD,CC1CE=C,BD平面CEC1,BDC1E.则CEC1为二面角的平面角,由等面积公式得CE=2323223=6,tanCEC1=CC1CE=26=33,所以CEC1=30.答案:A2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角B-PA-C的大小为()A.90B.60C.45D.30
9、解析:因为PA平面ABC,BA平面ABC,CA平面ABC,所以BAAP,CAAP.因此,BAC即为二面角B-PA-C的平面角,又BAC=90,故选A.答案:A3.下列命题:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A.B.C.D.解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以不对;由a,b分别垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故正确;中所作
10、的射线不一定垂直于二面角的棱,故不对;由定义知正确.故选B.答案:B4.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有个.解析:设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与垂直,此时有无数个平面与垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面满足.答案:1个或无数5.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则BC=.解析:ADBC,BDAD,CDAD,BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角,折叠后,平面ABD平面ACD,BDC=90.又AB=AC=1,BAC=9
11、0,BD+CD=AB2+AC2=2,BD=CD=22.折叠后,在RtBDC中,BC=BD2+CD2=1.答案:16.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB平面ABCD.证明:连接AC,交BD于点F,连接EF,EF是SAC的中位线,EFSC.SC平面ABCD,EF平面ABCD.又EF平面EDB,平面EDB平面ABCD.7.如图所示,已知三棱锥P-ABC中,ACB=90,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且PDB是正三角形,PAPC.(1)求证:平面PAC平面ABC;(2)求二面角D-AP-C的正弦值;(3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积.(1)证明:D是AB的中点,PDB是正三角形,AB=20,PD=12AB=10,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC.又BC平面PBC,APBC.ACBC,APAC=A,BC平面PAC.BC平面ABC,平面PAC平面ABC.(2)解:PAPC,且PAPB,BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC平面PAC,则BCPC,sinBPC=BCPB=25.(3)解:D为AB的中点,M为PB的中点,DM12PA,且DM=53,由(1)知PA平面PBC,DM平面PBC.SBCM=12SPBC=221,VM-BCD=VD-BCM=1353221=107.