1、直线与平面垂直的性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下面四个结论：若直线a平面,则内任何直线都与a平行;若直线a平面,则内任何直线都与a垂直;若平面平面,则内任何直线都与平行;若平面平面,则内任何直线都与垂直.其中正确的两个是()A.与 B.与C.与 D.与2.下列四个说法中错误的是()A.a,bab B.a,abbC.a,bab D.a,abb3.(2013杭州高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列几种说法正确的是()A.A1C1AD B.D1C1ABC.AC1与DC成45角 D.A1C1与B1C成60角4.a,b,c是三条直线,是两个平面,b,c,
2、则下列结论不成立的是()A.若,c,则cB.若,则bC.若a是c在内的射影,ab,则bcD.若bc,则c5.(2013宁德高一检测)如图,ABC中,ACB=90,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点Pl,当点P逐渐远离点A时,PCB的大小()A.变大 B.变小C.不变 D.有时变大有时变小二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013郑州高一检测)若一个直角在平面内的射影是一个角,则该角最大为.7.从平面外一点P引与平面相交的直线,使点P与交点的距离等于1,若点到平面的距离也为1,则满足条件的直线条数可能是条.8.(2012四川高考)如图所示,二面角-l-的大小是60,线段AB,Bl,AB与
3、l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知ABCD为矩形,SA平面ABCD,过点A作AESB于点E,过点E作EFSC于点F,如图所示.(1)求证：AFSC.(2)若平面AEF交SD于点G,求证：AGSD.10.(2013潍坊高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是BB1,CC1与AB的中点,(1)求证：AE平面A1DF.(2)求证：A1M平面AED.(3)正方体棱长为2,求三棱锥A1-DEF的体积.11.(能力挑战题)如图,四棱柱ABCD-ABCD中,侧棱与底面垂直,ABCD,ADDC,且AB=AD=1
4、,BC=,AA=.(1)求证：DBBC.(2)求二面角A-BD-C的大小.答案解析1.【解析】选B.是错误的,a与内的一簇平行线平行.由线面垂直,面面平行的性质可判断出是正确的.是错误的.2.【解析】选D.根据线面垂直的性质定理可知A正确;对于B,因为a,又abb,正确;对于C,因为b,则直线b和平面内的一条直线平行,又因为a,和平面内的任意一条直线垂直,故ab,正确;D不正确.3.【解析】选D.如图,AD和A1C1成45的角,不垂直;D1C1和AB平行,AC1和DC不成45的角,D正确.4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则垂直于另一个,故A正确.若c,因为a是c在内的射影
5、,所以ca,因为ba,所以bc;若c与相交,则c与a相交,由线面垂直的性质与判定定理知,若ba,则bc,故C正确.因为b,c,bc,所以c,故D正确.当时,平面内的直线不一定垂直于平面,故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周,也是造成判断错误的因素.5.【解析】选C.因为ACB=90,所以ACBC,又因为直线l垂直于平面ABC,所以lBC,根据线面垂直的判定定理可知,BC平面PAC,所以PCB=90,即PCB的大小不变.6.【解析】该角最大是平角,即180.答案：180【误区警示】本题易错在不考虑特殊情况,当这个直角的射影为一条线时,形
6、成的角为平角.7.【解析】设P到平面的距离为d,若d=1,则直线与平面垂直时满足题意,则只有1条.答案：1【举一反三】本题若去掉“点到平面的距离也为1”,结果怎样?【解析】分三种情况讨论,当点到平面的距离为1时,只有一条;当点到平面的距离大于1时,不存在;当点到平面的距离小于1时,有无数条.8.【解析】如图,过点A作平面的垂线,垂足为C,在内过C作l的垂线,垂足为D,连接AD,由线面垂直关系可知ADl,故ADC为二面角-l-的平面角,所以ADC=60.连接CB,则ABC为AB与平面所成的角.设AD=2,则AC=,CD=1,AB=4,所以sinABC=.答案： 9.【证明】(1)因为SA平面AB
7、CD,BC平面ABCD,所以SABC.又BCAB,SAAB=A,所以BC平面SAB,AE平面SAB.所以BCAE.又AESB,BCSB=B.所以有AE平面SBC,又SC平面SBC,所以AESC.又EFSC,AEEF=E,所以SC平面AEF,AF平面AEF,所以AFSC.(2)因为SC平面AEF,AG平面AEF,所以SCAG,又CDAD,CDSA,ADSA=A.所以CD平面SAD,又因为AG平面SAD.所以CDAG,又SCCD=C,所以AG平面SDC.又SD平面SDC,所以AGSD.【变式训练】已知a,b,c是平面内相交于一点O的三条直线,而直线l和平面相交,并且和a,b,c三条直线成等角.求证
8、：l.【证明】分别在a,b,c上取点A,B,C并使AO=BO=CO.设l经过O,在l上取一点P,在POA,POB,POC中,因为PO=PO=PO,AO=BO=CO,POA=POB=POC,所以POAPOBPOC.所以PA=PB=PC.取AB的中点D,连接OD,PD,则ODAB,PDAB.因为PDOD=D,所以AB平面POD.因为PO平面POD,所以POAB.同理,可证POBC.因为AB,BC,ABBC=B,所以PO,即l.若l不经过点O时,可经过点O作ll.用上述方法证明l,所以l.10.【解题指南】证明线面平行和线面垂直一般利用其判定定理;求三棱锥的体积一般采用等积法.【解析】(1)在正方体
9、中,因为E,F分别是BB1,CC1的中点,所以EFBC.又因为ADBC,所以EFAD.所以四边形AEFD是平行四边形,所以AEDF.因为AE平面A1DF,DF平面A1DF,所以AE平面A1DF. (2)因为AD平面ABB1A1,A1M平面ABB1A1,所以ADA1M.所以在正方形ABB1A1中,M,E分别是AB与BB1的中点.所以AA1MBAE,所以BAE=AA1M.因为BAE+A1AO=90,所以AA1M+A1AO=90,所以A1MAE.因为ADAE=A,所以A1M平面ADE.(3)AD=.11.【解析】(1)作BMCD,垂足为M,连接AM.因为ABCD,ADDC,BMCD,且AB=AD=1
10、,所以四边形ABMD是正方形,所以BM=DM=1,所以BD=.又因为BC=,所以CM=1,所以CD=2,所以CD2=BD2+BC2,所以DBBC.又因为CC平面ABCD,所以CCBD,又CCBC=C,所以BD平面BCC.又因为BC平面BCC,所以DBBC.(2)设AM与BD交于点E,连接AE.由(1)知,MEBD,且DE=BE.因为AA平面ABCD,所以AAAD,AAAB.又因为AB=AD=1,所以AD=AB.又因为DE=BE,所以AEBD.综上可知AEM是二面角A-BD-C的平面角.在AAE中,因为AA=,AE=BD=,所以tanAEA=,所以AEA=60,所以AEM=120,所以二面角A-BD-C的大小为120.
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