1、平面与平面垂直的判定（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.在正方体ABCD-ABCD的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.(2013成都高一检测)自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.无法确定3.已知a,b,c,ab,ac,则()A. B.与相交C. D.以上都有可能4.正方体A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于()A. B. C. D.5.(2013慈溪高一检测)已知,是平面,m,n是直线,给
2、出下列表述：若m,m,则;若m,n,m,n,则;如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交;若=m,nm,且n,n,则n且n.其中表述正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013福州高一检测)已知直线l平面,直线m平面,有四个命题：lm;lm;lm;lm.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填上)7.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.8.如图所示,在长方体ABC
3、D-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EFAB,若二面角C1-EF-C等于45,则BF=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,在RtAOB中,OAB=,斜边AB=4.RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB上任意一点.求证：平面COD平面AOB.10.(2013辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证：平面PAC平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.11.(能力挑战题)已知四棱锥P -ABCD的三视图如
4、图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P -ABCD的体积.(2)是否不论点E在何位置,都有BDAE?证明你的结论.(3)若点E为PC的中点,作出二面角D-AE-B的平面角.答案解析1.【解析】选D.由正方体的性质知侧棱与底面垂直,知过侧棱的平面都垂直于底面ABCD,因此正方体ABCD-ABCD的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为4.2.【解析】选B.如图,A为二面角内任意一点,BD,CD为AB,AC所在平面与,的交线,则BDC为二面角-l-的平面角,且ABD=ACD=90,所以A+BDC=180.【举一反三】若本题把自二面角“内”改为“外”,结果怎样?【解析】相等.当点在二面角
5、外时,依据等角定理,所成的角和二面角的平面角相等.3.【解析】选D.b,c不一定相交,故与所有关系都有可能.4.【解析】选C.设正方体的棱长为1,AC,BD交于O,连接A1O,因为BDAC,BDAA1,所以BD平面AA1O,所以BDA1O,所以A1OA为二面角的平面角.tanA1OA=,所以选C.5.【解析】选B.是平面与平面垂直的判定定理,所以正确;中,m,n不一定是相交直线,不符合两个平面平行的判定定理,所以不正确;中,还可能n,所以不正确;中,由于nm,n,m,则n,同理n,所以正确.6.【解析】因为l,m,所以llm.所以正确.设=d,m,且md时,lm.故命题错.因为lm,l,所以m
6、.又m,所以.故正确.由知不正确.答案：7.【解析】如图,过D作DGAF,垂足为G,连接GK,因为平面ABD平面ABC,又DKAB,所以DK平面ABC,因为AF平面ABC,所以DKAF.所以AF平面DKG,所以AFGK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是(,1).答案：(,1)8.【解析】因为AB平面BC1,C1F平面BC1,CF平面BC1,所以ABC1F,ABCF,又EFAB,所以C1FEF,CFEF,所以C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,所以C1FC=45,所以FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又
7、BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.答案：19.【证明】由题意,COAO,BOAO,所以BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因为二面角B-AO-C是直二面角.所以COBO.又因为AOBO=O,所以CO平面AOB.又CO平面COD,所以平面COD平面AOB.【方法锦囊】利用平面与平面垂直的判定定理的关键点(1)相互转化思想：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,进一步转化为处理线线垂直问题.(2)证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可.10.【解析】(1)由AB是圆的直径,得ACBC,由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAA
8、C=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.因为BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC.(2)过C作CMAB于M,因为PA平面ABC,CM平面ABC,所以PACM,故CM平面PAB.所以CMPB.过M作MNPB于N,连接NC,所以PB平面CMN,所以CNPB.所以CNM为二面角C-PB-A的平面角.在RtABC中,由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在RtPAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.因为RtBNMRtBAP,所以,故MN=.又在RtCNM中,CN=,故cosCNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值为.11.【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转
9、化确定相应线段长度.(2)作辅助线,利用线面垂直证明线线垂直.(3)作辅助线,找到并证明二面角的平面角.【解析】(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC=2.所以VP-ABCD=S正方形ABCDPC=122=,即四棱锥P-ABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BDAE.证明如下：连接AC,因为四边形ABCD是正方形,所以BDAC.因为PC底面ABCD,且BD平面ABCD,所以BDPC.又因为ACPC=C,所以BD平面PAC.因为不论点E在何位置,都有AE平面PAC.所以不论点E在何位置,都有BDAE.(3)在平面DAE内过点D作DFAE于F,连接BF.因为AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,所以RtADERtABE,从而ADFABF,所以BFAE.所以DFB为二面角D-AE-B的平面角.【方法锦囊】解决线面垂直问题注意点解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作用,空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合,准确识图,灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键.7
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