1、课时作业48利用向量求空间角1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)A. B.C. D.解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)则有即n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.2(2019大同模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距
2、离是(D)A. B.C. D.解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)，设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距离d.3(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为(A)A. B.C. D.解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面所成的角均相等如图，正方体ABCD-A1B1C1
3、D1中，易知棱AB，AD，AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等，所以平面A1BD，当平面趋近点A时，截面图形的面积趋近于0；当平面经过正方体的中心O时，截面图形为正六边形，其边长为，截面图形的面积为62；当平面趋近于C1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为，故选A.4已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上，AC为球O的直径当三棱锥P-ABC的体积最大时，二面角P-AB-C的大小为，则sin等于(C)A. B.C. D.解析：如图，设球O的半径为R，由4R216，得R2，设点P到平面ABC的距离为d，则0d2，因为AC为球的直径，所以AB2BC2AC
4、216，则V三棱锥P-ABCABBCd2，当且仅当ABBC2，d2时，V三棱锥P-ABC取得最大值，此时平面PAC平面ABC，连接PO，因为POAC，平面PAC平面ABCAC，PO平面PAC，所以PO平面ABC，过点P作PDAB于D，连接OD，因为ABPO，ABPD，POPDP，所以AB平面POD，则ABOD，所以PDO为二面角P-AB-C的平面角，因为ODBC，所以PD，则sinsinPDO，故选C.5如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是45.解析：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直
5、线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135，异面直线EF和CD所成的角的大小是45.6如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为.解析：建立空间直角坐标系如图所示设AB1，则，E.设M(0，y,1)(0y1)，则.，cos.则21.令8y1t，1t9，则，当且仅当t1时取等号cos，当且仅当y0时取等号7如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面A
6、BCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60，AP1，AD，求三棱锥E-ACD的体积解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0，0)，E，.设B(m,0,0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1,
7、0,0)为平面DAE的法向量，由题设得|cosn1，n2|，即 ，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V.8(2019江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD90，EB平面ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC，且M是BD的中点(1)求证：EM平面ADF；(2)求二面角A-FD-B的余弦值的大小解：(1)证法一：取AD的中点N，连接MN，NF.在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MNAB，MNAB，又因为EFAB，EFAB，所以MNEF且MNEF.所以四边形MNFE为平行四边形，所以EMFN，又因为FN
8、平面ADF，EM平面ADF，故EM平面ADF.证法二：因为EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.由已知可得，(3，2,0)，(0，1，)，设平面ADF的法向量是n(x，y，z)由得令y3，则n(2,3，)又因为n0，所以n，又EM平面ADF，故EM平面ADF.(2)由(1)中证法二可知平面ADF的一个法向量是n(2,3，)易得平面BFD的一个法向量是m(0，1)所以cosm，n，又二面角A-FD-B为锐角，故二面角A-FD-B的余弦值大小为.9(2019河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E为线段BD上的一点
9、，且EBEDECBC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：在BCD中，EBEDECBC，故BCD，CBECEB，连接AE，DABDCB，EABECB，从而有FEDBECAEB，AECEDE.AEFFED.故EFAD，AFFD.又PGGD，FGPA.又PA平面ABCD，故GF平面ABCD，GFAD，又GFEFF，故AD平面CFG.又AD平面PAD，平面PAD平面CGF.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，0)，
10、D(0，2，0)，P(0,0,3)故(1，0)，(3，3)，(3，0)设平面BCP的一个法向量为n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的一个法向量为n2(1，y2，z2)，则解得即n2(1，2)从而平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值为.10(2017全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值解：(1)取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD
11、.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.
12、由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.易知所求二面角为锐角因此二面角M-AB-D的余弦值为.11如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行如图，延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且BCED.所
13、以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，又CE平面ABCD，从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AE
14、H45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.解法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)设平面PCE的法向量n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成角为
15、，则sin.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.12(2019江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD中，ABC60，CD2，AB4，点E为AB的中点，现将该梯形中的三角形EBC沿线段EC折起，形成四棱锥B-AECD.(1)在四棱锥B-AECD中，求证：ADBD；(2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值解：(1)证明：由三角形BEC沿线段EC折起前，ABC60，CD2，AB4，点E为AB的中点，得三角形BEC沿线段EC折起后，四边形AECD为菱形，边长为2，DAE60，如图，取EC的中点F，连接DF，BF，DE，BEC和DEC均为
16、正三角形，ECBF，ECDF, 又BFDFF，EC平面BFD，ADEC，AD平面BFD，BD平面BFD，ADBD.(2)以F为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC平面BFD，知z轴在平面BFD内，BFEC，DFEC，BFD为平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角，BFD120，BFz30，又BF，点B的横坐标为，点B的竖坐标为.因D(，0,0)，E(0,1,0)，A(，2,0)，B，故(，1,0)，(0，2，0)设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，得令x1，得y0，z，平面ABD的一个法向量为n(1,0，)，cos，n，直线AE与平面ABD所成角为锐角，直线AE与平面ABD所成角的正弦值为.