1、20102014年高考真题备选题库第5章 数列第5节 数列的综合应用1(2014新课标全国，5分)等差数列an的公差为2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则an的前n项和Sn ()An(n1) B. n(n1)C. D. 解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以aa2a8，所以(a16)2(a12)(a114)，解得a12.所以Snna1dn(n1)故选A.答案：A2(2014天津，5分)设an 是首项为a1 ，公差为1 的等差数列，Sn为其前n项和若 S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2 B2C. D解析：由S1a1，S22a11，S44a16成等比数列可得(2a11)2a1(4a
2、16)，解得a1.答案：D3. (2014山东，12分)在等差数列an中，已知公差d2, a2是a1 与a4 的等比中项(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bna，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn .解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn4(2014重庆，13分)已知an是首项
3、为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和(1)求an及Sn；(2)设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及其前n项和Tn.解：(1)因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1.故Sn13(2n1)n2.(2)由(1)得a47，S416.因为q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，从而q4.又因b12，bn是公比q4的等比数列，所以bnb1qn124n122n1.从而bn的前n项和Tn(4n1)5(2014湖北，12分)已知等差数列an满足：a12，且 a1，a2 ，a5 成等比数列(1)求数列an的
4、通项公式；(2)记 Sn为数列an的前 n项和，是否存在正整数n，使得 Sn60n800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 解：(1)设数列an的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足
5、题意的n，其最小值为41.6(2014天津，14分)已知 q和 n均为给定的大于1的自然数，设集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.证明：若anbn ，则st.解：(1)当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1,2,3可得，A0,1,2,3,4,5,6,7(2)证明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1,2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b
6、2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110.所以st.7(2014江苏，16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称an是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项a11，公差d0.若an是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立解：(1)证明：由已知，当n1时，an1Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数mn1，使得Sn2nam.所
7、以an是“H数列”(2)由已知，得S22a1d2d.因为an是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因为d0，所以m20，故m1.从而d1.当d1时，an2n，Sn是小于2的整数，nN*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m2Sn2，使得Sn2mam，所以an是“H数列”因此d的值为1.(3)证明：设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，则anbncn(nN*)下面证bn是“H数列”设bn的前n项和为Tn，则Tna1(nN*)于是对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Tnb
8、m，所以bn是“H数列”同理可证cn也是“H数列”所以任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立8（2013安徽，13分）设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x满足 f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和Sn.解：本题主要考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和计算等基础知识和基本技能，并考查逻辑推理能力和运算求解能力(1)由题设可得，f(x)anan1an2an1sin xan2cos x对任意nN*，fanan1an2an10，即
9、an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)由bn222n2知，Snb1b2bn2n2n23n1.9（2012福建，4分）数列an的通项公式anncos1，前n项和为Sn，则S2 012_.解析：anncos1，a1a2a3a46，a5a6a7a86，a4k1a4k2a4k3a4k46，kN，故S2 01250363 018.答案：3 01810(2010安徽，13分)设C1，C2，Cn，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线yx相切对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn1相互外切以rn表示Cn的半径，已知rn为递增数列(1)证明：rn为等比数列；(2)设r11，求数列的前n项和解：(1)证明：将直线yx的倾斜角记为，则有tan，sin.设Cn的圆心坐标为(n,0)则由题意知，得n2rn；同理n12rn1，从而n1nrnrn12rn1，将n2rn代入，解得rn13rn.故rn为公比q3的等比数列(2)由于r11，q3，故rn3n1，从而n31n，记Sn，则有Sn1231332n31n，131232(n1)31nn3n.两式相减得1313231nn3nn3n(n)3n.Sn(n)31n.